НОА 2019, III кръг (национален), 7–8 клас — Задача 1. Местно средно слънчево време

• А) $s = 0.5\cdot 2\pi R = 20040\ \mathrm{km},\qquad t = \frac{s}{v} = \frac{20040}{1670} = 12^h$

  Да – и трите самолета се срещат след $12^h$ в точката на екватора, противоположна на точката на излитане, т.е. с географска дължина $\lambda = 180^\circ$.

• Б) „Запад-ХХ“ – часовникът трябва да показва непрекъснато 12 часа, стрелките му трябва да са спрели и да не се въртят. „Изток-ХХ“ – показанията трябва да се променят два пъти по-бързо, т.е. стрелките да се въртят два пъти по-бързо от нормалното. „Север-ХХ“ – часовникът върви с нормална скорост, но стрелките трябва да се превъртят 12 часа напред в момента, в който самолетът прелита над Северния полюс.

• В) Без промени и трите часовника вървят с нормален ход и след 12 часа полет показват 24 часа (полунощ), т.е. помежду си нямат разлика, но се разминават с 12 часа с местното средно слънчево време в точката на срещата (12 часа на обяд). За да няма разлика са нужни настройките от подусловие Б): спрян часовник на „Запад-ХХ“, двойно по-бърз ход на „Изток-ХХ“ и превъртане с 12 часа напред над Северния полюс за „Север-ХХ“.

  В отпечатаното решение подусловие В) не е отделено; отговорът тук е изведен от разсъжденията за трите часовника, включително изричното „когато достигне до екватора часовникът му ще показва 24 часа в полунощ, защото е тръгнал в 12 часа на обяд и е летял само 12 часа“.

Решение:

Пътищата на самолетите се пресичат в точка, противоположна на точката, от която те излитат. Това е точка лежаща на екватора и с географска дължина $\lambda = 180^\circ$. Разстоянието $s$ до тази точка, измерено по сферичната повърхност, по която се движат самолетите, е еднакво за трите самолета и е половината от обиколката на сферата:

Понеже самолетите се движат с еднаква скорост, те ще изминат този път за едно и също време, което е равно на разстоянието разделено на скоростта:

И трите самолета ще бъдат в противоположната на излитането точка след $12^h$.

Това, че самолетите изминават половината окръжност за 12 часа, означава, че те се движат със скоростта, с която се движи точка от земната повърхност, при денонощното въртене на Земята около оста ѝ. Разбира се, с малка корекция заради височината на полета.

Самолетът „Запад-ХХ“, който лети на запад, ще остава по време на полета върху този меридиан, за който така нареченото „средно слънце“ е винаги в горна кулминация. докато под него земната повърхност ще се движи, относно него, на изток с почти същата скорост. Той ще лети над точки от земната повърхност, които ще имат едно и също „местно средно слънчево време“ равно на 12 часа. Следователно чесовникът на този самолет трябва да показва непрекъснато 12 часа. Стрелките на часовника трябва да са спрели и да не се въртят.

Самолетът „Изток-ХХ“ се движи на изток, в същата посока, в която се движи земната повърхност при въртенето на Земята около оста ѝ, и със същата скорост. Той като че ли ще се върти около земната ос с двойно по-голяма скорост. За точките от земната повърхност местното средно слънчево време ще тече с нормална скорост, а за самолета – с двойно по-голяма скорост. Следователно часовникът трябва да бъде настроен така, че показанията му да се променят два пъти по-бързо. Ако има стрелки, те трябва да се въртят два пъти по-бързо, в сравнение с нормалната скорост на въртене. За 12 часа самолетът ще е направил пълна обиколка около оста на Земята и ще достигне меридиана, за който Слънцето е в горна кулминация. Поради това, че стрелките на часовника се въртят два пъти по-бързо, вместо 24 часа, те ще показват 12 часа на обяд, колкото ще бъде в действителност.

Самолетът „Север-ХХ“ ще се движи на север над гринуичкия меридиан. За него местното средно слънчево време ще се променя така, както се променя за всички точки от този меридиан. Следователно то ще тече с нормална скорост и часовникът на борда на самолета няма да има нужда от допълнителни настройки. Стрелките на часовника ще се въртят с нормална скорост. Това, обаче, ще продължава докато самолетът не достигне до Северния полюс. Ако продължи по срещуположния меридиан без да прави промени в часовника, когато достигне до екватора часовникът му ще показва 24 часа в полунощ, защото е тръгнал в 12 часа на обяд и е летял само 12 часа. За да няма разлика с останалите самолети и за да спази условието часовникът да показва местно средно слънчево време, стрелките на часовника следва да се превъртят 12 часа напред когато самолетът прелита над Северния полюс. При достигане на полюса, което ще стане след 6 часа, на Гринуичкия меридиан ще бъде вече 18 часа. На срещуположния меридиан, който е на 12 часа отстояние, ще бъде 6 часа сутринта. Когато времето на часовника бъде коригирано с 12 часа, и той ще показва 6 часа сутринта. Продължавайки да лети по срещуположния меридиан още 6 часа самолетът ще пристигне на екватора точно в 12 часа на обяд, когато трите самолета ще се срещнат, успешно изпълнили своята задача, и ще може да прекратят своя полет.

Критерии за оценяване (общо 14 т.):

За правилни разсъждения и заключение по въпроса къде ще се срещнат самолетите – 2 т.

За правилни разсъждения и изводи относно хода и показанията на часовниците на борда навсеки от трите самолета – 3 × 4 = 12 т.