Съдържание

НОА 2019, III кръг (национален), 7–8 клас — Задача 3. Космонавти изследователи

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2019

XXII Национална олимпиада по астрономия 2019, национален кръг, възрастова група VII-VIII клас · 19 април 2019 г. · 12 т.

Условие

3 задача. Космонавти изследователи. Вие участвате в космическа експедиция, която изследва екзопланета, лишена от атмосфера и обикаляща около далечна звезда. Планетата има радиус $R$ и се върти около оста си с период $P$ . Нейният спътник се движи по кръгова орбита над екватора на планетата в същата посока, в която тя се върти около оста си. Радиусът на орбитата на спътника е $2R$ .

Земният звездолет влиза в кръгова екваториална орбита около планетата, като също се движи в посока на нейното околоосно въртене. Радиусът на орбитата му е $8R$ , а орбиталният му период е $8P$ . От звездолета на повърхността на планетата се спускат два малки кораба с двама космонавти изследователи – Вие и Ваш колега. Корабите кацат в две диаметрално противоположни точки от екватора.

А) Вие излизате от Вашия кораб и виждате в зенита спътника на планетата. След колко време спътникът ще прелети над точката, където е кацнал корабът на Вашия колега? Тук и в следващите две подусловия изразявайте времето в единици, равни на периода на въртене на планетата $P$ .

Б) През какъв интервал от време земният звездолет ще преминава през зенита за Вас?

В) Когато звездолетът се появява над хоризонта, Вие установявате радиовръзка с екипажа. Колко време ще можете да поддържате тази връзка непрекъснато до скриването на звездолета под хоризонта?

Отговори

Решение

Решение:

Означаваме с $T_0$ и $T$ орбиталните периоди на спътника и звездолета, а с $r_0$ и $r$ радиусите на техните орбити. Използваме III закон на Кеплер, за да намерим периода на спътника:

\frac{r_0^{\,3}}{T_0^{\,2}} = \frac{r^3}{T^2}

T_0 = T\sqrt{\frac{r_0^{\,3}}{r^3}} = 8P\sqrt{\frac{2^3}{8^3}}

T_0 = P

Орбиталният период на спътника се оказва равен на периода на околоосно въртене на планетата. Най-вероятно и тя, и нейният спътник са приливно заключени и винаги остават обърнати с една и съща страна един към друг. Ако след кацането на планетата Вие виждате над себе си спътника, то той винаги ще остава там. Спътникът никога няма да се появи в небето над противоположната точка от екватора на планетата, където се намира Вашият колега.

Нека $T_x$ е интервалът от време, през който Вие ще виждате звездолета да преминава през зенита за Вас. Тъй като звездолетът се движи в посоката на въртенето на планетата, то можем да напишем:

\frac{1}{T_x} = \frac{1}{P} - \frac{1}{T}

T_x = \frac{TP}{T-P} = \frac{8}{7}P

На схемата с A е отбелязано местоположението на космонавта, а с линията BC е означен хоризонтът. След появата на звездолета над хоризонта, примерно в точка B, космонавтът ще може да поддържа радиовръзка с екипажа докато звездолетът не се скрие под хоризонта в точка C. Следователно космическият кораб ще измине над хоризонта дъгата BC.

Ъгълът COB е по-малък от $180^\circ$ с величина, равна на удвоения ъгъл DOB. Можем приблизително да оценим този ъгъл, като приемем, че дължината на дъгата DB е равна на R. Следователно:

\angle COB \approx 180^\circ - 2\cdot\frac{R}{2\pi\cdot 8R}\cdot 360^\circ = 180^\circ\left(1-\frac{1}{4\pi}\right) \approx 166^\circ

За да намерим времето, през което ще стане това, трябва да отчетем и факта, че самата планета се върти около оста си. Това е аналогично на ситуацията, при която планетата не се върти, а звездолетът обикаля около нея с период, равен на $T_x$ . Търсеното време ще бъде:

t = \frac{166^\circ}{360^\circ}T_x \approx 0.53P

Голяма окръжност – орбитата на звездолета – с център O и вписана малка сива окръжност с радиус R (планетата); точка A е космонавтът на повърхността, правата BC през A е хоризонтът и пресича орбитата в B и C; успоредната права през O пресича орбитата в D, а отсечката BD е равна на R. — Схема към решението на 3 задача: орбитата на звездолета и хоризонтът на космонавта.

Критерии за оценяване (общо 12 т.):

За определяне на орбиталния период на спътника – 4 т.

За правилно заключение относно видимостта на спътника от обратната страна на планетата – 2 т.

За правилен теоретичен подход при определяне на времето за радиовръзка със звездолета – 7 т.

За правилен краен отговор – 1 т.

Оригинал в Архива: NOA3_2019_7-8problems.pdf · официални решения: NOA3_2019_7-8solutions.pdf