НОА 2019, III кръг (национален), 9–10 клас — Задача 1. Космонавти изследователи

• А) $T_0 = T\sqrt{\frac{{r_0}^3}{r^3}} = 8P\sqrt{\frac{2^3}{8^3}} = P$

• Б) $\frac{1}{T_x} = \frac{1}{P} + \frac{1}{T},\qquad T_x = \frac{TP}{T+P} = \frac{8}{9}P$

• В) $t = \frac{166^\circ}{360^\circ}T_x \approx 0.41P$

  Дъгата над хоризонта отговаря на ъгъл $\angle COB \approx 166^\circ$.

• Г) 87 kg

  $P = 2\pi\sqrt{8R^3/(\gamma M)} \approx 14300$ s $\approx 4$ часа; $a = \omega^2R \approx 1.23$ m/s$^2$; $a/g \approx 0.126$, т.е. „олекване“ с около 13%.

Решение:

Означаваме с $T_0$ и $T$ орбиталните периоди на спътника и звездолета, а с $r_0$ и $r$ радиусите на техните орбити. Използваме III закон на Кеплер, за да намерим периода на спътника:

Орбиталният период на спътника се оказва равен на периода на околоосно въртене на планетата. Най-вероятно и тя, и нейният спътник са приливно заключени и винаги остават обърнати с една и съща страна един към друг. Ако след кацането на планетата Вие виждате над себе си спътника, то той винаги ще остава там. Спътникът никога няма да се появи в небето над противоположната точка от екватора на планетата, където се намира Вашият колега.

Нека $T_x$ е интервалът от време, през който Вие ще виждате звездолета да преминава през зенита за Вас. Тъй като звездолетът се движи в посока обратна на въртенето на планетата, то можем да напишем:

На схемата с А е отбелязано местоположението на космонавта, а с линията ВС е означен хоризонтът. След появата на звездолета над хоризонта, примерно в точка B, космонавтът ще може да поддържа радиовръзка с екипажа докато звездолетът не се скрие под хоризонта в точка C. Следователно космическият кораб ще измине над хоризонта дъгата BC.

Ъгълът COB е по-малък от $180^\circ$ с величина, равна на удвоения ъгъл DOB. Можем приблизително да оценим този ъгъл, като приемем, че дължината на дъгата DB е равна на R. Следователно:

За да намерим времето, през което ще стане това, трябва да отчетем и факта, че самата планета се върти около оста си. Това е аналогично на ситуацията, при която планетата не се върти, а звездолетът обикаля около нея с период, равен на $T_x$. Търсеното време ще бъде:

Ако далечната планета има масата $M$ и радиуса на Земята, то ние трябва да пресметнем нейния период на въртене, който се оказва равен на орбиталния период на спътника. Отново използваме III закон на Кеплер:

Тази планета се върти 6 пъти по-бързо от Луната. Ако $\omega = 2\pi/P$ е ъгловата скорост на въртене на планетата, то центробежното ускорение, което ще има космонавтът на нейния екватор, ще е:

Да сравним това със земното ускорение:

Оттук следва, че на екватора на планетата космонавтът ще „олекне“ с около 13% от теглото си, или ще тежи около 87 kg.

Критерии за оценяване (общо 12 т.):

За определяне на орбиталния период на спътника – 3 т.

За правилно заключение относно видимостта на спътника от обратната страна на планетата – 1 т.

За правилен теоретичен подход при определяне на времето за радиовръзка със звездолета – 5 т.

За правилен краен отговор – 1 т.

За правилен метод за определяне колко ще тежи космонавтът на планета с хороктеристиките на Земята – 3 т.

За верен числен отговор – 1 т.