НОА 2019, III кръг (национален), 9–10 клас — Задача 4. Сложните движения на Луната

• А) Разстоянията се получават от $r = D/\delta$, където $\delta$ е измереният диаметър на всяко изображение, а константата $D = \delta\cdot r = 31\cdot 100 = 3100$ се определя от най-малкото изображение (10 юни 2017 г.), на което се приписва $r = 100$ mm. Ъглите между последователните положения се пресмятат от датите: $k_\varphi = 360^\circ/365.25^d = 0.9856$ deg/d и $\varphi = k_\varphi\cdot N^d$.

• Б) $a_{km} = \frac{a_{mm}}{r_{p,mm}}r_{p,km} = \frac{94.3}{88}\cdot 356512 = 382032\ \text{km}$

  От чертежа $2a = 188.6$ mm, $a = 94.3$ mm, $r_p = 88$ mm. Масата на Земята: $M = 4\pi^2a^3/(\gamma T^2) = 5.92\cdot 10^{24}$ kg.

Решение:

За да начертаем орбитата на Луната трябва да разполагаме с информация за нейното положение относно дадена координатна система. Ние разполагаме с изображения на Луната получени от Земята, които са с различни размери. Подразбира се, че те са правени с един същи уред и с едно и също фокусно разстояние. При тези условия разликата в размерите на лунните изображения се дължи на това, че Луната при различните пълнолуния е била на различни разстояния от нас. Имайки предвид, че ъгловите размери на Луната не са големи, то е в сила зависимостта между линейните размери $D$, ъгловите размери $\delta$ и разстоянието $r$: $\delta = D/r$. Оттук следва: $r = D/\delta$. (1)

Диаметрите на изображенията, с които разполагаме, представят в някакъв линеен мащаб ъгловите размери на Луната. Нека при най-малкото изображение на Луната, това от 10 юни 2017г., приемем да изобразяваме разстоянието с отсечка равна на 100 mm. Така ние вече разполагаме с разстоянието от горната формула. Понеже разстоянието е обратно пропорционално на видимия ъглов размер, а $D$ е константа, която играе ролята на коефициент на пропорционалност, може да пресметнем стойността на $D$ от горното уравнение, като използваме диаметъра на най-малкото изображение и 100 mm за разстоянието. Получаваме:

След като измерим диаметрите на изображенията на Лунатаq използваме стойността на константата и пресмятаме разстоянията до Луната за всички дати на наблюденияата.

Разстоянията са в милиметри, като най-голямото е 100 mm.

За да построим орбитата, трябва да знаем посоките към Луната в съответните моменти. Тях ги пресмятаме от датите на наблюденията. Когато Луната е в пълнолуние, тя се намира относно Земята в посока, противоположна на посоката към Слънцето. Всеки лунен месец Земята се придвижва на определен ъгъл по своята орбита. Посоката към Луната също се променя със стойност, равна на този ъгъл. За една година положенията на Луната в пълнолуние ще опишат лунната орбита, макар и с не голям брой положения.

Земята прави пълна обиколка около Слънцето за около 365.25 денонощия. Връзката между ъгъла на завъртане и количеството денонощия между наблюденията се дава от израза:

Умножавайки с този израз интервалите време, изразени в денонощия – $N^d$, получаваме ъгъла $\varphi$, на който Луната е завъртяна при съответното пълнолуние:

Пресмятаме по описания начин разстоянията и ъглите между дадените пълнолуния. След това ги използваме за да построим орбитата на Луната.

От най-отдалечената точка на орбитата построяваме голямата ѝ ос, която трябва да мине през положението на Земята, от което тръгнахме за да построим орбитата. Измерваме големината ѝ: $2a$ = 188.6 mm, откъдето следва, че $a$ = 94.3 mm. Измерваме разстоянието до Луната в перигея: $r_p$ = 88 mm. Това растояние съотвества на 356512 km.

Накрая намираме голямата полуос в километри:

Използваме III Закона на Кеплер, за да пресметнем масата на Земята:

Критерии за оценяване (общо 14 т.):

За правилен теоретичен метод за определяне на разстоянията до Луната – 2 т.

За измервания и пресмятания в мащаба на чертежа – 3 т.

За правилен метод за определяне на ъгловите отмествания на Луната – 2 т-

За изчсления, измервания и построяване на орбитата – 3

За определяне на голямата полуос на орбитата и масата на Земята – 4 т.