НОА 2019, IV кръг, Младша възраст — Задача 2. Машината на времето

Двете изображения показват небето в един и същи момент по местно звездно време, който е 18 часа. По дефиниция местното звездно време е равно на часовия ъгъл на пролетната равноденствена точка. Ако този ъгъл е $18^{\mathrm h}$, пролетната равноденствена точка трябва да се намира на $90^\circ$ от меридиана на мястото в точката запад на хоризонта. Оттук следва, че в дадения момент точката на есенното равноденствие ще бъде в точката изток на хоризонта, точката на зимно слънцестоене е в горна кулминация на юг, а северният еклиптичен полюс е в долна кулминация на север от зенита.

На Фиг. 1 измерваме диаметъра на изображението на небето $D$ и разстоянието $X$ от Полярната звезда до точката север на хоризонта. Определяме височината на Полярната звезда над хоризонта чрез следната пропорция:

Поради особеностите на проекцията височината над хоризонта не е пропорционална на отместването по права линия от хоризонта към зенита, който е в центъра на изображението. Затова при определянето на географската ширина се получава значителна грешка (компютърно генерираното изображение съответства на около $43^\circ$ северна ширина. Но това не е от значение при оценяване на решението.)

На Фиг. 2 е показано небето в някакъв друг ден може би, но в същия момент по местно звездно време. Следователно би трябвало разположението на звездите да изглежда по същия начин, както на Фиг. 1. Но разликата е съществена. Понеже северният еклиптичен полюс отново е в зенита, то в точките запад и изток отново трябва да са съответно пролетната и есенната равноденствена точка. Но те не се намират в същите съзвездия, както на Фиг. 1, а Полярната звезда вече не е над точката север на хоризонта и дори не е на същата височина над хоризонта. Тъй като машината на времето премества Иван само във времето, но той си остава в своя шезлонг на същото географско място, то географската ширина не би трябвало да се е променила. Следователно преместването във времето е толкова голямо, че поради прецесията северният небесен полюс се е изместил значително. Всъщност, тъй като двете изображения показват небето в един и същи момент по местно звездно време, вследствие единствено на прецесията звездите на Фиг. 2 са се завъртели около северния еклиптичен полюс спрямо своите положения на Фиг. 1. Поставяме Фиг. 2 на полупрозрачната хартия върху Фиг. 2. Прекопираме върху Фиг. 2 позициите на няколко звезди от Фиг. 1. Една от тях задължително трябва да е Полярната звезда. За всяка от тези звезди начертаваме отсечка, свързваща нейното старо и ново положение. Виждаме, че относно северния еклиптичен полюс звездите и в частност Полярната звезда, са се завъртели по посока обратна на часовниковата стрелка. Именно в такава посока се върти и северният небесен полюс около северния еклиптичен полюс в резултат от прецесията на земната ос. Така стигаме до извода, че машината на времето е пренесла Иван в бъдещето.

Намираме средата на всяка от отсечките и прекарваме перпендикуляри към всяка от тези средни точки. Перпендикулярните линии се пресичат в северния еклиптичен полюс. Така определяме неговото положение в небето.

Построяваме триъгълник от северния еклиптичен полюс и двете положения на Полярната звезда. Измерваме ъгъла при северния еклиптичен полюс, който се оказва около $84^\circ$. Именно на такъв ъгъл трябва да се завърти северният небесен полюс за времето между първия момент на Фиг. 1 и бъдещия момент на Фиг. 2. Периодът на прецесия е 26000 години. Завъртането на северния небесен полюс на определения от нас ъгъл може да стане за време:

(При използване на по-точната стойност на периода на прецесия – 25776 години – се получава 6014 год., или Иван се е пренесъл в годината $2019+6014=6033$. Компютърно генерираното изображение съответства на 6019 г Познаването на по-точната стойност на периода на прецесия не се изисква от решаващите задачата.).

Следователно изобретателят е бил преместен напред във времето в началото не седмото хилядолетие от новата ера.