Съдържание

НОА 2019, IV кръг, Младша възраст — Задача 1. Затъмнение на Слънцето от Юпитер

Оригинал на условието (изображение)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2019

17 юли 2019 г. · 15 т.

Условие

Виктор и Гео работят в космическа база за зареждане с гориво на междупланетни кораби, разположена на малък астероид. Веднъж те наблюдават такова удивително явление, че Гео възкликва от възторг, а Виктор изгубва дар слово. Планетата Юпитер причинява пълно затъмнение на Слънцето. Продължителността на пълното покриване на слънчевия диск от диска на Юпитер е съвсем малка.

Двамата космонавти мечтаят да видят това отново. Какъв е интервалът от време между две такива затъмнения?

Орбитите на астероида и на Юпитер да се приемат за кръгови и лежащи в една равнина.

Орбиталният период на Юпитер е 11.86 години.

Диаметър на Слънцето: 696 000 km.

Диаметър на Юпитер: 69 900 km.

Решение

Нека да означим периода на Юпитер с $T$ .

От третия закон на Кеплер намираме, че радиусът на орбитата му е:

r\,[\mathrm{AU}]=T\,[\mathrm{y}]^{2/3}=5.2\,\mathrm{AU}.

В условието на задачата е казано, че пълното покритие на Слънцето от диска на Юпитер има много малка продължителност. Това означава, че астероидът се движи по такава орбита, при която, в момента в който се намира „зад“ Юпитер, той има видим ъглов размер, равен на този на Слънцето.

Нека $D_{\text{С}}$ да е диаметърът на Слънцето, а $D_{\text{Ю}}$ – диаметърът на Юпитер.

Ако радиусът на орбитата на астероида е $a$ , то от равенството на видимите ъглови размери следва, че:

\frac{D_{\text{С}}}{r}=\frac{D_{\text{Ю}}}{a-r}.

От тук намираме:

a=r\left(1+\frac{D_{\text{Ю}}}{D_{\text{С}}}\right)\approx5.78\,\mathrm{AU}.

Периодът на обикаляне на астероида около Слънцето е:

P\,[\mathrm{y}]=a\,[\mathrm{AU}]^{3/2}=13.9\text{ години}.

Интервалът от време между две последователни затъмнения е равен на синодичния период на астероида, относно Юпитер $T_{\mathrm{syn}}$ .

Намираме го по формулата:

T_{\mathrm{SYN}}=\frac{PT}{P-T}\approx80.8\text{ години}.

Критерии за оценка (15 т.)

За намиране на орбиталния радиус на орбитата на Юпитер – 2 т.
За разсъждението, че Юпитер и Слънцето имат равни видими ъглови диаметри, гледани от астероида – 3 т.
За правилна математическа постановка и изразяване на орбиталния радиус на астероида – 5 т.
За верен числен резултат – 1 т.
За изразяване на орбиталния период на астероида и числен отговор – 2 т.
За правилно изразяване на синодичния период и верен числен отговор – 2 т.

Бележка към източника

В оригинала числата $696\,000\,\mathrm{km}$ и $69\,900\,\mathrm{km}$ са наречени „диаметри“. Отпечатани са също знаменателят $r$ в равенството на ъгловите размери и резултатът $5.78\,\mathrm{AU}$ след формулата за $a$ . Формулите и числата са запазени въпреки несъответствията; не са преизчислявани при транскрипцията.

Оригинал в Архива: IMG_20190719_145140.jpg · допълнителни данни: IMG_20190719_145153.jpg · допълнителни данни: IMG_20190719_145204.jpg · допълнителни данни: IMG_20190719_145217.jpg · допълнителни данни: IMG_20190719_145226.jpg · допълнителни данни: IMG_20190719_145235.jpg · допълнителни данни: IMG_20190719_145253.jpg