НОА 2020, I кръг (общински), 7–8 клас — Задача 3. Галилео Галилей

• А) Сатурн (с неговите пръстени), Юпитер, Марс и Венера в различни фази. Планетите са обозначени с техните астрономически знаци.

• Б) Сатурн – да: измереното отношение $d_P/d_V = 0.33$ е близко до очакваното $0.31$. Марс – видимият му ъглов размер ($0.26$ спрямо очаквано $0.30$) е малко по-малък от този при противостояние. Юпитер – не: нарисуван е с $d_P/d_V = 0.43$ при очаквано $0.76$, т.е. с доста по-малък ъглов размер от този при максимално сближаване.

  Числените резултати зависят от мащаба на отпечатване на рисунката и от използваните справочни данни.

Решение:

На рисунката са изобразени Сатурн с неговите пръстени, които Галилео не е могъл добре да различи в своите все още недостатъчно съвършени телескопи, Юпитер, Марс и Венера в различни фази, които тя показва за земния наблюдател при различни свои положения относно Слънцето и Земята. Планетите са обозначени с техните астрономически знаци.

Максимално сближаване на една вътрешна планета със Земята настъпва, когато планетата е в долно съединение, а за външна планета – когато планетата е в противостояние (опозиция). На рисунката са представени пет изображения на Венера в различни фази и очевидно, при различни нейни разстояния до Земята. Можем да приемем, че първото изображение, стоящо най-вляво, е близко до позицията на Венера в долно съединение и съответства приблизително на видимия ъглов размер на планетата при максимално сближаване със Земята. Всички останали планети, дадени на рисунката, ще сравняваме с това изображение. Да означим с $d_V$ диаметъра на Венера в тази фаза, измерен в милиметри от рисунката, а с $d_S$, $d_J$, и $d_M$ – измерените диаметри съответно на Сатурн, Юпитер и Марс. Нека $D_V$, $D_S$, $D_J$ и $D_M$ бъдат истинските диаметри на Венера, Сатурн, Юпитер и Марс в километри, а $r_V$, $r_S$, $r_J$ и $r_M$ – техните разстояния до Слънцето. Разстояниеот от Земята до Слънцето ще означим с $r_T$. Разстоянията между Земята и всяка от планетите при максимално сближаване ще бъдат:

Видимият ъглов диаметър на една планета, наблюдавана от Земята при максимално сближаване, трябва да е пропорционален на нейния линеен диаметър и обратно пропорционален на разстоянието до нея. Можем да приемем, че относителните размери, с които са нарисувани планетите, отразяват техните относителни видими ъглови размери, наблюдавани от Галилей. За да разберем дали дадена планета $P$ е била наблюдавана при максимално сближаване със Земята, ние трябва да сравним нейния видим ъглов диаметър с този на Венера и да проверим дали се изпълнява равенството:

Резултатите от нашите измервания и пресмятания можем да представим в следната таблица:

Получените стойности показват, че видимият ъглов размер на Сатурн, отразен в рисунката, е близък до този при максимално сближаване със Земята. Видимият ъглов размер на Марс е малко по-малък от този при противостояние на Марс в момент, когато планетата е на средното си разстояние от Слънцето. Както е известно, марсианската орбита е доста изтеглена елипса и когато Марс е във велико противостояние (противостояние, което се случва близо до момента на преминаване на Марс през перихелий), неговият видим ъглов размер може да е съществено по-голям. Юпитер очевидно е нарисуван с видим ъглов размер доста по-малък от този, който би имал при максимално сближаване. Допълнителни пресмятания показват, че нарисуваният размер на Юпитер е малко по-малък дори от този, който планетата би имала при максимално отдалечаване от Земята. Това означава, че тази планета не е нарисувана особено точно.

Възможно е да бъдат намерени данни директно за видимите ъглови размери на планетите и да се направи съответствие между тях и линейните размери на изображенията на планетите върху рисунката. Тогава не е необходимо да се правят пресмятания, а само да се разсъждава върху отношенията на размерите на изобразените планети. Този метод също следва да се приема за правилен.

Критерии за оценяване (общо 10 т.):

• За правилно означаване върху рисунката на четирите планети 4 $\times$ 1 т. = 4т.
• За правилен метод на измервания, пресмятания и сравнения – 4 т.
• За правилни крайни изводи – 2 т.

Забележка: Числените резултати на учениците могат до известна степен да се отличават от показаните тук поради различни мащаби на отпечатване на рисунката, по която се правят измервания и поради различаващи се изходни данни, които могат да се намерят в справочните източници. При оценяването следва да се имат предвид принципните разсъждения.