НОА 2020, II кръг (областен), 11–12 клас — Задача 4. Слънчев вятър и фотони

• А) $\Delta m_1 = 4\pi r^2 v \rho \approx 1.17{\times}10^{6}\ \text{тона в секунда}$

  Плътността на слънчевия вятър край Земята е $\rho \approx 8.915\times10^{-21}$ kg/m$^3$.

• Б) $\Delta m_2 = \frac{L_o}{c^2} \approx 4.22{\times}10^{6}\ \text{тона в секунда}$

• В) Не. За увеличение от 15 m за 100 години Слънцето би трябвало да губи около $63.5\times10^6$ тона в секунда; при реалната загуба на маса се получава $\Delta r \approx 1.3$ метра за 100 години.

  По-съществен фактор навярно е приливното въздействие на Слънцето върху системата Земя – Луна.

Решение:

Да си представим количество вещество от слънчевия вятър, в което се съдържат 91 протона (атомни ядра на водорода) и 9 алфа-частици (атомни ядра на хелия). Всеки протон носи единица положителен заряд. Всяка алфа-частица съдържа по два протона и два неутрона и носи две единици положителен заряд. За да бъде сумарният електрически заряд на това количество вещество равен на нула, в него трябва да има и определен брой свободни електрони, който трябва да е:

Общият брой частици ще бъде:

Ако концентрацията в близките околности на Земята е n = 8.8 частици / cm$^3$, то това количество вещество ще заема обем:

Общата маса на веществото в този обем ще бъде:

където $m_p$ е масата на протона, а $m_\alpha$ е масата на алфа-частицата. Сега вече можем да намерим плътността на веществото, носено от слънчевия вятър в близките околности на Земята:

За да получим този резултат, предварително сме превърнали концентрацията от брой частици / cm$^3$ в брой частици / m$^3$.

Да означим с $\Delta m_1$ масата, която Слънцето губи за една секунда поради слънчевия вятър. Да си представим сфера с център Слънцето и радиус r, равен на една астрономическа единица, колкото е разстоянието до Земята. Нейната площ е равна на $4\pi r^2$. Тогава $\Delta m_1$ ще бъде масата на веществото, преминало през тази сфера за една секунда. То се съдържа в сферичен слой с обем $\Delta V = 4\pi r^2 v$, където v е скоростта на частиците от слънчевия вятър в околностите на Земята, изразена в метри за секунда. Оттук получаваме:

В резултат от термоядрените реакции в недрата на Слънцето част от масата на частиците, които участват в тях, се превръща в енергия на електромагнитното излъчване. Означаваме с $L_o$ светимостта на Слънцето. Това е енергията, излъчвана от Слънцето в единица време. Ако $\Delta m_2$ е загубата на маса за единица време в резултат от излъчването, то:

където $c$ е скоростта на светлината. Оттук пресмятаме:

Да си представим, че в даден момент Земята се движи по кръгова орбита около Слънцето с радиус r, равен на една астрономическа единица. Тогава нейната орбитална скорост ще бъде:

където $\gamma$ е гравитационната константа, а $M_o$ е масата на Слънцето. В някакъв следващ момент масата на Слънцето намалява с величина $\Delta m$. В резултат на това Земята тръгва да се движи по елипса с перихелий на разстояние r от Слънцето и афелий на разстояние $r + 2\Delta r$. Голямата полуос на тази елипса ще бъде:

Съгласно закона за запазване на енергията, приложен към новата елиптична орбита на нашата планета, ако $M_T$ е масата на Земята, то:

Съкращаваме $M_T$ и заместваме $v_0$ и a с дадените по-горе формули:

Съкращаваме $\gamma$ и множаваме двете страни на равенството с $2r\left(r + \Delta r\right)$:

Преобразуваме уравнението и получаваме:

Като приемем, че $\Delta r \ll r$, стигаме до съотношението:

За време $t = 100$ години средното разстояние от Земята до Слънцето се увеличава с 15 метра. Бихме могли да пресметнем от горното равенство колко маса трябва да изгуби Слънцето, за да стане това и да сравним със загубата на маса в резултат от слънчевия вятър и излъчването. Оказва се, че е необходимо Слънцето да губи около $63.5{\times}10^{6}$ тона в секунда, което е значително повече от реалната загуба на маса. Другият вариант е да пресметнем при реалната загуба на маса от Слънцето, с колко би се увеличавало средното разстояние Земя – Слънце за 100 години. Получаваме $\Delta r \approx 1.3$ метра за 100 години, което е значително по-малко от 15 метра. Това ни води до заключението, че увеличаването на разстоянието от Земята до Слънцето не може изцяло да се обясни със загубата на маса от нашата звезда. По-съществен фактор навярно е приливното въздействие на Слънцето върху системата Земя – Луна.

Критерии за оценяване (общо 12 т.):

За пресмятане на загубата на вещество от слънчевия вятър – 3.5 т.

За верен числен отговор – 0.5 т.

За пресмятане на загубата на вещество от излъчването – 3.5 т.

За верен числен отговор – 0.5 т.

За правилен подход при определяне на влиянието на загубата на вещество от Слънцето върху увеличаването на разстоянието Земя – Слънце – 3 т.

За правилен краен извод – 1 т.