НОА 2020, II кръг (областен), 7–8 клас — Задача 5. Три планети
XXIII Национална олимпиада по астрономия 2020, областен кръг, възрастова група VII-VIII клас · 16 февруари 2020 г. · 12 т.
Условие
Планетите от нашата Слънчева система се движат по орбити, които лежат почти в една и съща равнина. Напоследък обаче, с откриването на множество планети около други звезди се оказва, че не при всички планетни системи е така.
Да си представим три планети, обикалящи около далечна звезда. По реда на отдалечаването им от звездата ще обозначим тези планети с A, B и C. Техните орбитални периоди са равни съответно на 1, 7 и 21 земни години. Орбитите на най-вътрешната планета A и най-външната планета C лежат в една и съща равнина и тези планети се движат около звездата в една и съща посока. Орбитата на средната планета B е перпендикулярна на орбиталната равнина на планетите A и B.
А) В даден момент планетите B и C са едновременно в опозиция за наблюдател от планетата A. Нарисувайте схема, изобразяваща трите планети в това положение, както и техните орбити.
Б) След колко време отново планетите B и C ще са едновременно в опозиция за наблюдател от планетата A?
Отговори
А) Трите планети лежат на една права от една и съща страна на звездата S – възможните разположения са A₁, B₁, C₁ и A₂, B₂, C₂.
Б) 10.5 години
21 / 2 = 10.5 години: за това време A прави 10.5 обиколки, B – 1.5 обиколки, C – половин обиколка.
Решение
Начертаваме схемата с орбитите на трите планети. Приемаме, че орбитите са кръгови. Ако планетите B и C са едновременно в опозиция за наблюдател от планетата A, то следва, че трите планети лежат на една права линия и са от една и съща страна на звездата S. При дадената ориентация на орбититите в пространството има само две възможности за такова разположение. Първата възможност е, когато планетите са в точките A₁, B₁ и C₁, а втората – когато планетите са в точките A₂, B₂ и C₂. Нека първоначално планетите да са в точките A₁, B₁ и C₁. Това взаимно разположение очевидно може да се повтори след време, равно на орбиталния период на планетата C – 21 години. За същото време планетата A ще направи 21 обиколки около звездата, а планетата B ще направи 21 / 7 = 3 обиколки.
Планетите B и C могат да бъдат едновременно в опозиция за наблюдател от планетата A също и ако са в положенията A₂, B₂ и C₂. Това може да се случи след време, равно на половината от орбиталния период на планетата C – 21 / 2 = 10.5 години. За такъв интервал от време планетата A ще направи 10 и половина обиколки около звездата. Планетата B ще направи 1.5 обиколки, понеже 10.5 години са равни на 7 години плюс 3.5 години, или 1.5 нейни орбитални периоди.
Оттук заключаваме, че най-близкият момент, в който отново планетите B и C ще бъдат в опозиция за наблюдател от планетата A, ще бъде 10.5 години след първоначалния момент, когато планетите са в подобно взаимно разположение.
Необходимо е да отбележим, че в действителност при формирането на планетни системи около звезди такова разположение на планетите трудно може да се получи или ако наистина се реализира нещо подобно, то планетните орбити не биха били кръгови.
Критерии за оценяване (общо 12 т.):
За правилно представяне на схемата с първоначалното разположение на трите планети – 5 т.
За правилен метод за определяне на момента на следващото подобно разположение – 6 т.
За верен краен резултат – 1 т.
Ако участникът е посочил интервал от време до следващото подобно разположение на планетите, равен на 21 години, то за подусловие Б следва да му се присъдят 3 т.
Оригинал в Архива: NOA2_2020_7-8problems.pdf · официални решения: NOA2_2020_7-8solutions.pdf