Съдържание

НОА 2020, II кръг (областен), 9–10 клас — Задача 2. Хелиоцентризъм и паралаксът на звездите

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2020

XXIII Национална олимпиада по астрономия 2020, областен кръг, възрастова група IX-X клас · 16 февруари 2020 г. · 12 т.

Условие

Преди повече от 2000 години някои древногръцки учени, като Аристотел и Аристарх Самоски, са обмисляли възможността Слънцето да е в центъра на Слънчевата система. Но, както е казвал Аристотел, ако Земята се движи по орбита около Слънцето, ние трябва да виждаме как звездите описват малки кръгчета по небето. Тъй като не виждаме подобно движение, заключил той, Земята е неподвижна. Аристарх Самоски със своите наблюдения и разсъждения стигнал до извода, че Слънцето е значително по голямо от Земята и така придобил увереността, че Слънцето е в центъра на Слънчевата система, а Земята и останалите планети се движат около него.

В опитите за наблюдение на паралактични отмествания на звездите Аристарх привлякъл войници, отличаващи с особено добро зрение. Някои от тях виждали сърпа на Венера, когато тя е била във фаза близка до долно съединение. Опитите се оказали безуспешни. Според правилното заключение на Аристарх, разстоянията до звездите са толкова големи, че в сравнение с тях, размерите на земната орбита са сравними с точка.

Определете какви трябва да бъдат разстоянията до най-близките звезди, за да може войниците, които виждат фазите на Венера, да забележат паралактичните им отмествания.

Справочни данни:

Диаметър на Венера – 12104 km

Радиус на орбитата на Венера – 0.7233 au (астрономически единици)

$1\ \text{au} = 149.6 \times 10^{6}$ km

Отговори

Решение

Решение:

За да се виждат паралактичните отмествания, те трябва да бъдат не по-малки от ъгловите размери на Венера в долно съединение. Разбира се, предполагаме, че наблюдаваме близки звезди на фона на далечни звезди, което ни позволява да проследим видимите движения на близките звезди, породени от паралактичните им отмествания. Първо пресмятаме видимите ъглови размери на Венера, когато е най-близо до нас, т.е. в долно съединение. Тогава разстоянието до Венера е равно на разликата в радиусите на орбитите на Земята и Венера:

r = r_E - r_V = 1 - 0.7233 = 0.2767\ \text{au} = 41394320\ \text{km}

Тук $r_E$ и $r_V$ са радиусите на орбитите на Земята и Венера. Ъгловият размер на Венера в долно съединение е:

\delta_V = \frac{D_V}{r} = 2.924 \times 10^{-4}\ \text{rad} = 60.3\ \text{arcsec}

където $D_V$ е диаметърът на Венера в километри. За да виждаме паралактично отместване със същия ъглов размер трябва, гледано от звездата, такъв да е видимият ъглов диаметър на Земната орбита:

\delta_{d_E} = \frac{d_E}{r_*} = \delta_V

където $d_E$ е линейният диаметър на земната орбита, а $r_*$ е разстоянието до близка звезда. Оттук следва:

r_* = \frac{d_E}{\delta_V} = \frac{2 \times 149.6 \times 10^{6}}{2.924 \times 10^{-4}} = 1.023 \times 10^{12}\ \text{km} = 6840\ \text{au} = 0.03316\ \text{pc}

Виждаме, че разстоянието до звездата е повече от 30 пъти по-малко от реалните разстояния до звездите, които са над 1.3 pc.

Критерии за оценяване (общо 12 т.):

За разбиране, че тънкият сърп на Венера се наблюдава близо до долно съединение – 2т.
За определяне на ъгловите размери на Венера в долно съединение – 3т.
За разбиране, че трябва да се определят ъгловите размери на земната орбита, гледана от близка звезда – 2т.
За правилна математическа постановка на задачата – 4т.
За верен числен отговор – 1т.

Оригинал в Архива: NOA2_2020_9-10problems.pdf · официални решения: NOA2_2020_9-10solutions.pdf