НОА 2020, II кръг (областен), 9–10 клас — Задача 4. Междузвезден гост

• $k = \frac{h}{2r} = 4\pi \approx 12.5$

  При амплитуда около 3 звездни величини $(2.512)^3 \approx 16$ и $k = 4\pi \approx 12.5$; ако се използва усреднената крива с амплитуда около 2.6 звездни величини, $(2.512)^{2.6} \approx 11$ и $k \approx 8.6$.

Решение:

Промяната на блясъка на един астероид, намиращ се на определено разстояние от Земята, зависи от промяната на площта (лицето) на видимата проекция на астероида върху равнина, перпендикулярна на лъча на зрение. При това се предполага, че цялата видима част от астероида е огряна от Слънцето. Това почти винаги е изпълнено, понеже огромната част от астероидите се движат по орбити, които са извън земната орбита. Оумуамуа също премина през Слънчевата система достатъчно далеч от Земята, за което може да се досетим по голямата му звездна величина. По време на фотометричните наблюдения тя се мени между 22-ра и 25-та. Затова може да приемем, че практически цялата видима повърхност на астероида е осветена от Слънцето. Ето защо видимият му блясък ще зависи от площта на видимата проекция на астероида. Понеже се иска да се направи само оценка на отношението на размерите, разглеждаме две ориентации на астероида.

Първата ориентация е когато оста на цилиндъра е перпендикулярна на зрителния лъч. Тогава проекцията е правоъгълник с дълга страна, равна на дължината на цилиндъра и къса страна, равна на диаметъра на основата на цилиндъра. Площта на проекцията е равна на $S_1 = 2rh$. В тази ориентация астероидът има максимален блясък. Разбира се, може да се разглеждат ориентации, при които цилиндърът е разположен леко диагонално и площта на видимата проекция е възможно да е малко по-голяма, но пресмятанията стават сложни, а ефектът е много малък. От нас се иска да направим само оценка на съотношението в размерите, затова използваме ориентация, при която оста на цилиндъра е перпендикулярна на лъча на зрение.

Втората ориентация е когато към наблюдателя е насочена основата на цилиндъра. Тя представлява кръг с радиус r и площ равна на $S_2 = \pi r^2$. Тогава видимата проекция на астероида е най-малка. В тази ориентация астероидът има минимален блясък.

Нека разгледаме кривата на блясъка на астероида. Виждаме, че блясъкът в максимум и минимум се различава с около 3 звездни величини. Следователно в максимума на блясъка от астероида идва $(2.512)^3 = 15.85 \approx 16$ пъти повече светлина. Тогава площта на видимата проекция е около 16 пъти по-голяма от площта на видимата проекция в минимум. (Ако използваме не точките с наблюденията от кривата на блясъка, а усреднената крива, представена с бяла пунктирна линия, която апроксимира данните от наблюденията, за амплитудата на кривата на блясъка получаваме около 2.6 звездни величини. Тогава $(2.512)^{2.6} = 10.96 \approx 11$ пъти повече светлина в максимума на блясъка. Това е малко по-реалистична оценка.)

Оттук следва, че:

Следователно:

Виждаме, че дължината на астероида е много по-голяма от неговата ширина.

Възможно е да се разгледа случай на модел на астероид близък до диск. Тогава цилиндърът ще има много малка височина и голям диаметър на основата. В този случай максималният блясък е когато към нас е обърната основата на астероида. Нека да предефинираме k като обратното отношение. По същата методика за k получаваме:

Това би бил изключително тънък диск, който едва ли би могъл да се получи и оцелее при ударната еволюция на астероидите.

Критерии за оценяване (общо 12 т.):

• За разбиране, че при максимум на блясъка оста на цилиндъра е ориентирана перпендикулярно на зрителния лъч – 1т.
• За разбиране, че проекцията на цилиндъра, при максимум представлява правоъгълник – 1т.
• За правилно пресмятане на площта на правоъгълника – 1т.
• За разбиране, че при минимум на блясъка оста на цилиндъра е ориентирана по зрителния лъч – 1т.
• За правилно пресмятане на площта на кръглото сечение на цилиндъра – 1т.
• За правилно използване на разликата в звездната величина за определяне на отношението на осветеностите в максимум и минимум на астероида – 2т.
• За правилно разбиране и използване на тази информация при формиране на отношението на площите и правилни математически преобразования за намиране на търсеното отношение – 4т.
• За верен числен отговор – 1т.