НОА 2020, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 2. Плутон и неговата свита

• А) Ще се вижда само един спътник – Харон, който закрива всички останали. Подреждането се повтаря след 60 орбитални периода на Харон, т.е. след $\approx 383$ дни.

  $6^\mathrm{d}.38723 \times 60 \approx 383$ дни.

• Б) Максимална продължителност на пълната фаза $\Delta t \approx 0.06679^d \approx 1.603$ h $\approx 96$ min; за една плутонианска година се виждат 351 или 352 пълни слънчеви затъмнения ($2N = 351.67$). min; брой затъмнения

Решение:

А) Харон и Плутон са приливно заключени и това означава, че ако ние се намираме в глациоложката космическа база на Плутон, Харон ще остава в зенита за нас през цялото време. Съотношението на орбиталните периоди на спътниците показва, че най-кратък период има Харон. Съгласно III закон на Кеплер оттук следва, че този спътник е най-близо до Плутон. Знаем също така, че Харон е и най-големият спътник на Плутон, като размерите му значително превишават размерите на останалите спътници. Ако всички спътници се наредят в една линия, от едната страна на Плутон, то ние ще виждаме само Харон, който ще закриво всички останали.

Съотношението на орбиталните периоди на спътниците е 1:3:4:5:6. Най-малкото общо кратно на тези числа е равно на 60. Следващото такова подреждане на спътниците ще се случи след 60 орбитални периода на Харон, които са равни на периода на околоосно въртене на Плутон, или след $6^\mathrm{d}.38723 \times 60 \approx 383$ дни.

Б) За да определим максималната продължителност на пълната фаза на слънчево затъмнение, първо ще намерим видимите ъглови диаметри на Харон и на Слънцето, гледани от Плутон. Ако $\delta_C$ е видимият ъглов диаметър на Харон, $D_C$ е линейният му диаметър, а $r_C$ е радиусът на неговата орбита около Плутон, то:

където $R_{Pl}$ е радиусът на Плутон. Ние изваждаме този радиус от разстоянието между центровете на Плутон и Харон, защото ни е нужно разстоянието между Харон и глациоложката база, а тя се намира на повърхността на Плутон. По-нататък пресмятаме:

За видимия ъглов диаметър на Слънцето намираме:

където $D_S$ е линейният диаметър на Слънцето, а $r_S$ е разстоянието от Плутон до него.

Слънчевото затъмнение от Харон ще изглежда както е показано на фигурата по-долу. При положението на Слънцето, отбелязано с 1 ще започне частичната фаза, а при положение 2 – пълната фаза на затъмнението. Пълната фаза ще приключи при положение 3, а при положение 4 ще завърши и частичната фаза на затъмнението.

Продължителността на пълната фаза ще се определя от времето, за което Харон ще се завърти по своята орбита около Плутон на ъгъл, съответстващ на разстоянието от центъра на видимия слънчев диск в точка 2 до точка 3, който ще бъде:

Ако $T_0$ е периодът на околоосно въртене на Плутон, който е равен и на орбиталния период на Харон, то продължителността на пълната фаза на затъмнението ще бъде:

При определяне на продължителността на централното затъмнение пренебрегваме компонентата във видимото движението на Слънцето, която е следствие от движението на Плутон по неговата орбита, защото тя е несъизмеримо по-малка от видимото движение на Харон, относно звездите и диска на Слънцето – почти 15000 пъти, както се вижда от отношението на периодите на Плутон и Харон.

За да се случват слънчеви затъмнения е необходимо при фаза на Харон близка до новолуние Слънцето да се намира достатъчно близо до правата линия, в която се пресичат равнините на орбитата на Харон около Плутон и на орбитата на Плутон около Слънцето. Ако проектираме всичко това върху небесната сфера, то Слънцето трябва да е близо до някой от възлите на орбитата на Харон. Това са пресечните точки между проекцията на орбитата на Харон около Плутон върху небесната сфера и проекцията на орбитата на Плутон около Слънцето (еклиптиката за Плутон). Означаваме с $\varepsilon_P$ дадения ни наклон на екваториалната равнина на Плутон към равнината на орбитата му около Слънцето. Това е и ъгълът между орбиталната равнина на Харон около Плутон и орбиталната равнина на Плутон около Слънцето, защото орбитата на приливно заключения Харон е екваториална.

На схемата е представена небесната сфера за наблюдател на Плутон. Дадена е проекцията на орбитата на Плутон около Слънцето – еклиптиката за Плутон, а също и проекцията на орбитата на Харон около Плутон.

Изображението на Харон дава представа за ивицата от небесната сфера, върху която трябва да попадне изцяло Слънцето при своето видимо годишно движение, за да има пълни слънчеви затъмнения. Вижда се, че такива периоди се случват два пъти по време на годината за Плутон – около двата възела 1 и 2 на орбитата на Харон. Следващата схема показва в увеличен вид областта около възела 1 на орбитата на Харон.

Виждаме, че пълни слънчеви затъмнения ще могат да се случват в интервала от време, за който центърът на Слънцето изминава разстоянието АВ по своя видим годишен път по еклиптиката за Плутон. Ъгловият размер на отсечката АС е равен на видимия ъглов диаметър на Харон минус видимия ъглов диаметър на Слънцето:

В триъгълника АВС:

Този участък от еклиптиката за Плутон се изминава от Слънцето за време:

където $T$ е орбиталният период на Плутон около Слънцето.

За да проверим колко слънчеви затъмнения могат да се случат за този интервал от време, трябва да го разделим на орбиталния период на Харон (равен на периода на околоосно въртене на Плутон):

Като се има предвид, че в областта около другия възел на орбитата на Харон трябва да се случат още толкова затъмнения, то общият брой пълни слънчеви затъмнения, които ще могат да се наблюдават в рамките на една година за Плутон, ще бъде:

Следователно за една плутонианска година на Плутон ще се виждат 351 или 352 пълни слънчеви затъмнения.

Критерии за оценяване (общо 15 т.)

За верен отговор колко спътника ще виждаме, когато всички се наредят на една права линия, както и кратко обяснение – 2 т.

За намиране на периода, през който се случва всичките спътници да застанат на една права линия от едната страна на Плутон – 3 т.

За определяне на продължителността на пълната фаза на затъмнението – 5 т.

За определяне на броя затъмнения в годината – 5 т.