Съдържание

НОА 2020, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 4. Двойна звезда

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2020

XXIII Национална олимпиада по астрономия 2020, национален кръг, възрастова група XI-XII клас · 27 юни 2020 г. · 15 т.

Условие

Сбъдва се вашата мечта и вие получавате билет до Луната. Там ви очаква лунната астрономическа обсерватория, построена близо до южния полюс.

Заравяте се в архивите на обсерваторията и откривате необработени наблюдения на двойна звезда от южното небе, правени в продължение на повече от 25 години. Те съдържат данни за ъгловото разстояние $\rho$ между главната и вторичната компонента и позиционния ъгъл $\theta$ на вторичната компонента относно главната, който се отчита от посоката север обратно на часовниковата стрелка (виж таблицата вляво). Има и няколко спектрални наблюдения, от които следва, че и двете звезди са от спектрален клас G0 и отношението на масите им е около 9.5 : 1, както и фотометрични наблюдения, от които става ясно, че главната компонента е от около 4.5 визуална звездна величина, а вторичната компонента е с 9.4 звездни величини по-слаба. Данните за точните моменти на наблюденията са загубени. Единствената достъпна информация е, че между наблюденията 1 и 9 са изминали около 13 години.

N	$\theta$ , deg	$\rho$ , arcsec
1	45.0	0.0172
2	100.8	0.0227
3	110.9	0.0230
4	137.0	0.0295
5	151.4	0.0356
6	177.0	0.0419
7	198.2	0.0490
8	207.5	0.0492
9	223.0	0.0507
10	243.2	0.0486
11	250.2	0.0487
12	261.0	0.0447
13	282.0	0.0388
14	300.2	0.0342
15	329.2	0.0243
16	342.4	0.0230

А) По данните от таблицата постройте видимата относителна орбита на вторичната компонента около главната, след което възстановете вида на истинската относителна орбита. Какъв е нейният ексцентрицитет?

Работете в мащаб: k = 1500 mm/дъгова секунда

Б) Използвайте данните от таблицата с основните астрофизически характеристики на звездите, дадена в приложенията след задачите, и определете вида на звездите. Какви са масите на звездите? Какъв е периодът на системата? Колко астрономически единици е голямата полуос на орбитата? Какъв процент светлина се поглъща от междузвездната среда по пътя от двойната звезда до наблюдателя? Какво е разстоянието от нас до звездата? От астрофизическа гледна точка смятате ли, че ще ви бъде интересно да продължите да наблюдавате тази звезда по време на вашата кариера като лунен астроном?

ОСНОВНИ АСТРОФИЗИЧНИ ХАРАКТЕРИСТИКИ НА ЗВЕЗДИТЕ

Истински цветове $(B-V)_0$ и $(U-B)_0$ :

Спектр. клас	$(B-V)_0$ V	$(B-V)_0$ III	$(B-V)_0$ Ia	$(U-B)_0$ V	$(U-B)_0$ III	$(U-B)_0$ Ia
O5	−0.33	−0.32	−0.31	−1.19	−1.17	−1.17
B0	−0.30	−0.29	−0.23	−1.08	−1.08	−1.05
B5	−0.17	−0.17	−0.08	−0.58	−0.58	−0.76
A0	−0.02	−0.03	0.02	−0.02	−0.07	−0.44
A5	0.15	0.15	0.09	0.10	0.11	−0.10
F0	0.30	0.30	0.17	0.03	0.08	0.15
F5	0.44	0.43	0.31	−0.02	0.09	0.27
G0	0.58	0.60	0.75	0.06	0.21	0.52
G5	0.68	0.86	1.03	0.20	0.56	0.82
K0	0.81	1.00	1.25	0.45	0.84	1.18
K5	1.15	1.50	1.60	1.08	1.81	1.80
M0	1.40	1.56	1.67	1.22	1.87	1.90
M5	1.64	1.63	—	1.24	1.58	1.60

Абсолютни зв. вел. $M_V$ :

Спектр. клас	V	III	Ib	Ia
O5	−5.7	−6.3	—	−6.8
B0	−4.0	−5.1	−6.1	−6.9
B5	−1.2	−2.2	−5.4	−7.0
A0	0.6	0.0	−5.2	−7.1
A5	2.0	0.7	−5.1	−7.4
F0	2.7	1.5	−5.1	−8.0
F5	3.5	1.6	−5.1	−8.0
G0	4.4	1.0	−5.0	−8.0
G5	5.1	0.9	−4.6	−7.9
K0	5.9	0.7	−4.3	−7.7
K5	7.4	−0.2	−4.4	−7.5
M0	8.8	−0.4	−4.5	−7.0
M5	12.3	−0.5	−4.8	−6.8

Ефективни темп. $T_\mathrm{eff}$ и светимости $\mathcal{L}/\mathcal{L}_\odot$ :

Спектр. клас	$T_\mathrm{eff}$ V	$T_\mathrm{eff}$ III	$T_\mathrm{eff}$ I	$\mathcal{L}/\mathcal{L}_\odot$ V	$\mathcal{L}/\mathcal{L}_\odot$ III	$\mathcal{L}/\mathcal{L}_\odot$ I
O5	44 500	42 500	40 300	790 000	990 000	1 100 000
B0	30 000	29 000	26 000	52 000	110 000	260 000
B5	15 400	15 000	13 600	830	1 800	52 000
A0	9 520	10 100	9 700	54	106	35 000
A5	8 200	8 100	8 510	14	43	35 000
F0	7 200	7 150	7 700	6.5	20	32 000
F5	6 440	6 470	6 900	3.2	17	32 000
G0	6 030	5 850	5 550	1.5	34	30 000
G5	5 770	5 150	4 850	0.79	43	29 000
K0	5 250	4 750	4 420	0.42	60	29 000
K5	4 350	4 000	3 850	0.15	220	38 000
M0	3 850	3 800	3 650	0.077	330	41 000
M5	3 240	3 330	2 800	0.011	930	300 000

Маси $\mathcal{M}/\mathcal{M}_\odot$ и радиуси $\mathcal{R}/\mathcal{R}_\odot$ :

Спектр. клас	$\mathcal{M}$ V	$\mathcal{M}$ III	$\mathcal{M}$ I	$\mathcal{R}$ V	$\mathcal{R}$ III	$\mathcal{R}$ I
O5	60	—	70	12	—	30
B0	17.5	20	25	7.4	15	30
B5	5.9	7	20	3.9	8	50
A0	2.9	4	16	2.4	5	60
A5	2.0	—	13	1.7	—	60
F0	1.6	—	12	1.5	—	80
F5	1.4	—	10	1.3	—	100
G0	1.05	10	10	1.1	6	120
G5	0.92	1.1	12	0.92	10	150
K0	0.79	1.1	13	0.85	15	200
K5	0.67	1.5	13	0.72	25	400
M0	0.51	1.2	13	0.60	40	500
M5	0.21	—	24	0.27	—	—

Отговори

Решение

Решение:

N	$\theta$ , deg	$\rho$ , arcsec	$\rho$ , mm
1	45.0	0.0172	25.8
2	100.8	0.0227	34.1
3	110.9	0.0230	34.5
4	137.0	0.0295	44.3
5	151.4	0.0356	53.4
6	177.0	0.0419	62.9
7	198.2	0.0490	73.5
8	207.5	0.0492	73.8
9	223.0	0.0507	76.1
10	243.2	0.0486	72.9
11	250.2	0.0487	73.1
12	261.0	0.0447	67.1
13	282.0	0.0388	58.2
14	300.2	0.0342	51.3
15	329.2	0.0243	36.5
16	342.4	0.0230	34.5

Използваме мащаба k = 1500 mm/arcsec и по дадените ъглови разстояния $\rho$ между главната и вторичната компонента пресмятаме разстоянията в милиметри. Тези разстояния ще ни послужат за построяване на видимата относителна орбита на вторичната компонента около главната компонента на двойната звезда. Поставяме главната компонента в центъра на листа, избираме направлението север (N) и построяваме положенията на вторичната компонента по данните в таблицата. Виждаме, че точките доста добре описват окръжност. Построяваме внимателно тази окръжност и намираме нейния център. Измерваме радиуса на окръжността и получаваме около 50.5 mm.

Построяваме радиуса на окръжността, прокарвайки линия през главната компонента. Виждаме, че положението на главната компонента разделя радиуса на две равни части. Следователно орбитата на звездата не е кръгова, а елиптична. В противен случай главната компонента би се намирала в центъра на окръжността. Понеже проекцията върху небесната сфера е успоредна, отношенията между голямата полуос, малката полуос и фокусното разстояние на орбитата се запазват. Следователно относителната орбита е елипса, фокусът на която разделя голямата полуос на две равни части. За ексцентрицитета на истинската елиптична орбита можем да напишем:

e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{\frac{a^2 - b^2}{a^2}} = \sqrt{\frac{f^2}{a^2}} = \frac{f}{a} = 0.5

където $a$ и $b$ са голямата и малката полуос на елипсата, а $f$ е фокусното разстояние (разстоянието между фокуса и центъра на елипсата).

Единственият начин видимата орбита да е окръжност е елиптичната орбита да е завъртяна около малката ос. Следователно радиусът на окръжността е равен на малката полуос на елипсата. Понеже малката полуос се проектира с истинския си размер, то това е единственият линеен елемент от орбитата с който разполагаме. Нека изразим голямата полуос чрез малката полуос и ексцентрицитета. От горната формула за ексцентрицитета следва:

e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2}

a_{mm} = \frac{b}{\sqrt{1 - e^2}} = \frac{b}{0.866} = 1.1547 \cdot b \approx 58.3\ mm

където $a_{mm}$ е голямата полуос в милиметри върху чертежа. Тук използваме това, че малката полуос е равна на радиуса на видимата окръжност – 50.5 mm.

От центъра на окръжността, който съвпада с центъра на елипсата, през фокуса, т.е. през положението на главната компонента, прекарваме отсечка с получената дължина на голямата полуос. След това построяваме отсечка със същата дължина в противоположна посока. Двете отсечки представляват голямата ос на елиптичната орбита на звездата. Внимателно строим елипсата, като използваме краищата на голямата и малката ос. Разбира се, ние няма да строим елиптичната орбита съвсем точно, макар това да е възможно по принцип, а само приблизително нейния вид, като използваме за опорни точки краищата на осите.

Б) В таблицата с основните астрофизични характеристики на звездите намираме реда, съответстващ на звездите от спектрален клас G0. Ние разполагаме с информация за разликата в звездните величини и за отношението на масите на компонентите на двойната звезда. Затова търсим звезди от този спектрален клас и с разлика в звездните величини около 9.4. Виждаме, че звездите от V клас светимост имат абсолютна звездна величина $M_V = 4.4$ , а звездите от клас светимост Ib имат абсолютна звездна величина $M_V = -5.0$ . Понеже двете компоненти се намират на едно и също разстояние от нас и притежават не много силно различаващи се цветове, то селективното поглъщане ще променя малко разликата в звездните им величини. Но ние разполагаме и с отношението на масите на звездите. Да проверим какво е отношението на масите на звездите от Главната последователност и звездите свръхгиганти Ib. Виждаме, че типични маси за тях са съответно 1.05 слънчеви маси и 10 слънчеви маси. Отношението между тях е 9.52, което е близо до полученото за компонентите на наблюдаваната двойна система. Следователно едната звезда е от Главната последователност на диаграмата на Херцшпрунг-Ръсел, а другата – свръхгигант от клас светимост Ib. Масите на звездите са съответно 1.05 и 10 слънчеви маси. Сумата от масите на компонентите е 11.05 $M_\odot$ . За да намерим периода ще използваме това, че между наблюденията с номера 1 и 9 са изминали около 13 години. Ако внимателно разгледаме възстановената орбита ще видим, че тези наблюдения са много близо до краищата на голямата ос. Голямата ос разделя елиптичната орбита на две симетрични части, които се изминават от звездата за еднакво време. Следователно периодът на системата е около 26 години. Понеже знаем масата на звездите, може да пресметнем колко астрономически едниници е голямата полуос на относителната орбита от третия закон на Кеплер:

\frac{a^3}{T^2} = M_1 + M_2

a = \sqrt[3]{T^2 (M_1 + M_2)} = 19.55\ au

В този вариант на формулата масите са в слънчеви маси, периодът е в години, а голямата полуос се получава в астрономически единици.

Разстоянието намираме от отношението на линейния размер на голямата полуос към ъгловия. Ъгловия размер на голямата полуос е:

\rho_a = \frac{a_{mm}}{k} = 0.0389''

Разстоянието е:

r = \frac{a}{\rho_a} = \frac{19.55\ au}{0.0389''} = 502.6\ pc \approx 500\ pc

На това разстояние главната звезда би трябвало да има визуална звездна величина:

V = M_V + 5\lg r - 5 = 3.5^\mathrm{m}

Звездата, обаче, има визуална звездна величина $V = 4.5^\mathrm{m}$ . Следователно има поглъщане в междузвездната среда. Щом звездната величина се увеличава с 1, то светлината намалява около 2.5 пъти. От излъчената светлина остават 40%. Следователно се поглъща 60% от светлината.

По-масивната компонента е жълт свръхгигант и има характерните параметри на пулсиращите променливи звезди от типа на класическите цефеиди. В условието не се казва, че тя променя своя блясъка, но има известна несигурност в представянето на нейната видима звездна величина, което подсказва, че променливост е възможна. Ако тя наистина е променлива, а по своите характеристики звездата е в района на т.нар. „ивица на нестабилност“ на диаграмата на Херцпрунг-Ръсел, то е твърде вероятно тя да е пулсираща променлива звезда от типа δ Cep – класическа цефеида. Затова би било интересно да продължат наблюденията на тази звезда и такова изследване би представлявало интерес от гледна точка на астрофизиката.

Ръчна чертожна конструкция: видимата окръжност с 16 отбелязани положения, фокус F, център O, голяма ос AA' и малка ос BB', с посоки N и E — Към решението на 4 задача.

Критерии за оценяване (общо 15 т.):

За пресмятане на мащаба и построяване на проектираната орбита – 3 т.

За определяне на ексцентрицитета на орбитата – 2 т.

За построяване на истинската орбита – 2 т.

За определяне от какъв вид са звездите – 1 т.

За определяне на масите на звездите – 1 т.

За определяне на орбиталния период на системата – 1 т.

За пресмятане на линейния размер на голямата полуос на орбитата – 1.5 т.

За намиране на разстоянието до системата – 1 т.

За определяне на процента на погълната светлина – 1.5 т.

За коментар относно бъдещите песпективи за изследване на звездата – 1 т.

Оригинал в Архива: NOA3_2020_11-12problems.pdf · официални решения: NOA3_2020_11-12solutions.pdf