Съдържание

НОА 2020, III кръг (национален), 9–10 клас — Задача 4. Екзопланета с екзолуна

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2020

XXIII Национална олимпиада по астрономия 2020, национален кръг, възрастова група IX-X клас · 27 юни 2020 г. · 15 т.

Условие

Най-много от откритията на екзопланети в днешно време са направени по метода на пасажите – чрез проследяване на лекото намаление на блясъка на дадена звезда при преминаване на планетата пред нея. На последната фигура след задачите виждате криви на блясъка на звезда по време на пасажи на нейната планета. Те не отразяват реални наблюдения, а са компютърни симулации, основани на хипотетична звезда и планета. Планетата има спътник. В някои интервали блясъкът на звездата отслабва поради пасаж едновременно и на планетата, и на нейния спътник, а понякога спътникът преминава пред или зад планетата. Орбитите на планетата около звездата и на спътника около планетата са кръгови и лежат в една равнина. В същата равнина лежи и зрителният лъч от земния наблюдател. По вертикалната ос е отбелязан относителният светлинен поток, създаван от звездата по време на пасажа, като светлинният поток във времето извън пасажа се приема за равен на 1. Показани са шест криви на блясъка за шест последователни пасажа, като графиките от втория до шестия пасаж са изместени с 0.0025 единици поток вертикално надолу, за да се наредят една под друга.

Схема: голяма окръжност – звездата; върху хоризонтална линия със стрелка са показани по-голям кръг „планета“ и по-малък кръг „луна“. — Примерна рисунка: планета и луна пред диска на звездата.

Примерна рисунка към подусловие А.

Шест криви на относителния светлинен поток (от 0.980 до 1.000) като функция на времето (от −0.15 до 0.15 дни), с отбелязани точки A, B, C и D.

Пасажи на планета със спътник по диска на звезда – към задача 4.

Симулацията е направена при предположение, че звездата има маса 0.40 слънчеви маси и радиус 0.50 слънчеви радиуса.

Заоблянето на кривите на блясъка се дължи на потъмнение към края на диска на звездата. Не отчитайте дози ефект при определяне на радиуса на планетата.

Справочни данни:

Маса на Слънцето – $2 \times 10^{30}$ kg

Радиус на Слънцето – 696 000 km

Гравитационна константа – $6.67 \times 10^{-11}$ m $^3$ /kg.s $^2$

А Нарисувайте схематично взаимното разположение на екзопланетата, екзолуната и видимия диск на звездата за моментите, обозначени върху кривите на блясъка с точките A, B, C и D. Имайте предвид, че екзолуната има много кратък орбитален период около екзопланетата – само 0.3142 денонощия. Вляво виждате примерна рисунка. Движенията на планетата около звездата и на спътника около планетата стават в една и съща посока.

Б Направете необходимите измервания и определете радиусите на планетата и на нейния спътник. Определете радиуса на орбитата на планетата около звездата и нейния орбитален период. [9 т.]

В Определете приблизително радиуса на орбитата на спътника около планетата и масата на планетата. [2 т.]

Отговори

Решение

Примерна рисунка: звезда с планета и луна пред видимия диск, с посока на движението.

Номерираме шестте криви на блясъка на звездата по време на пасажите на планетата с цифрите от 1 до 6. Лесно можем да забележим, че от началото до края на пасажа на планетата по видимия диск на звездата изминава време около 0.2 от денонощието. А орбиталният период на екзолуната около планетата е $T_L = 0.3142$ денонощия, което е малко повече от времетраенето на пасажа на планетата. Участъкът от първата крива на блясъка, чиято продължителност е означена с $\Delta t_2$ на фигурата по-долу, съответства на интервал от време, през който екзолуната преминава или точно пред екзопланетата, или точно зад нея, при което не закрива светлина от звездата и блясъкът на звездата леко се повишава. Подобни участъци има и при другите криви на блясъка на звездата по време на другите пасажи на екзопланетата.

Кривите на блясъка с означени интервали $\Delta t_1$, $\Delta t_2$ и намаленията $\Delta E_1$, $\Delta E_2$.

Като имаме предвид всичко това, а също и че орбиталното движение на планетата около звездата и движението на луната около планетата са в една и съща посока, можем да си представим какво е било взаимното разположение на трите тела в моментите, обозначени с A, B, C и D. То е показано на следващата фигура.

Взаимното разположение на звездата, планетата и луната в моментите A, B, C и D.

Точка A съответства на момент, в който пасажът на планетата е приключил съвсем наскоро, а пасажът на луната пред диска на звездата тъкмо завършва. Това е моментът, в който видимият диск на луната излиза напълно от рамките на видимия диск на звездата и престава да я зътмнява.

Точка B съответства на момент близък до централния момент на пасажа на планетата по диска на звездата. Този момент предшества момента, означен с точка A, когато луната е била вляво от планетата. Следователно в момента B тъкмо е започвало навлизанета на луната в зоната зад видимия диск на планетата, поради което част от светлината на звездата вече се закрива само от планетата, но не и от луната и общият блясък на звездата леко се повишава.

Точка C съответства на момент, когато пасажът на планетата още не е започнал, но луната тъкмо е навлязла изцяло пред видимия диск на звездата и причинява леко намаляване на нейния блясък.

След като в момента, означен с точка C, луната е била вдясно от планетата, то по-нататък предстои преминаването ѝ зад планетата. Затова точка D съответства на момент преди средата на пасажа на планетата по диска на звездата, когато луната започва да излиза иззад диска на планетата.

Чрез измерване определяме мащаба на скалата по вертикалната ос на графиките. На 0.02 относителни единици светлинен поток съответстват 139.5 mm. Измерваме намалението на блясъка на звездата $\Delta E_1$ по време на първия пасаж, в рамките на интервала, когато луната е скрита зад планетата и не внася допълнително намаляване на блясъка. Можем да го измерим и по шестия пасаж. То се оказва равно на 43 mm и като използваме мащаба, получаваме:

\Delta E_1 = 43\ \mathrm{mm} \cdot \frac{0.02}{139.5\ \mathrm{mm}} \approx 0.006165\ \text{отн. ед.}

Приемаме приблизителен модел, при който разглеждаме звездата като равномерно светещ диск с радиус $R_S$ , част от който се закрива от тъмния диск на планетата с радиус $R_P$ . (Значителна част от неточността на този модел е свързана с потъмняването към крайщата на видимия диск на звездата. Заради него всъщност се наблюдава заоблянето в графиката при спадането на блясъка в началото на пасажа и при увеличението на блясъка в края. Ние оценяваме радиуса на планетата по максималната дълбочина на спадане на блясъка около централния момент на пасажа, но не отчитаме, че тогава планетата закрива най-ярката област от видимия диск на звездата. Поради това ние леко надценяваме радиуса на планетата. Но отчитането на този ефект е сложно и в задачата се изисква само приблизителна оценка). Означаваме осветеността (или светлинния поток), създавана от звездата извън времето на пасажа, с $E_0$ . В относителни единици $E_0 = 1$ . В сила е съотношението:

\frac{E_0 - \Delta E_1}{E_0} = \frac{\pi R_S{}^2 - \pi R_P{}^2}{\pi R_S{}^2}

Оттук, като имаме предвид дадения ни радиус на звездата, получаваме:

R_P = R_S\sqrt{\frac{\Delta E_1}{E_0}}

R_P \approx 27\,300\ \mathrm{km}

Тази планета е сравнима по размери с планетите Уран и Нептун.

Измерваме лекото повишение на блясъка на звездата $\Delta E_1$ близо до централния момент на някой от пасажите, в интервала когато луната се скрива зад планетата или преминава пред нея. За тази цел можем да използваме първия или шестия пасаж. Измерваме повишението на блясъка по графиката и то се оказва равно на 2.3 mm. Отново използваме мащаба и получаваме:

\Delta E_2 = 2.3\ \mathrm{mm} \cdot \frac{0.02}{139.5\ \mathrm{mm}} \approx 0.0003297\ \text{отн. ед.}

Означаваме с $R_L$ радиуса на луната и намираме:

\frac{E_0 - \Delta E_1 - \Delta E_2}{E_0 - \Delta E_1} = \frac{\pi R_S{}^2 - \pi R_P{}^2 - \pi R_L{}^2}{\pi R_S{}^2 - \pi R_P{}^2}

R_L = \sqrt{\left(R_S{}^2 - R_P{}^2\right)\cdot\frac{\Delta E_2}{E_0 - \Delta E_1}}

R_L \approx 6500\ \mathrm{km}

Екзолуната е сравнима по размери с нашата Земя.

За да определим радиуса на орбитата на планетата около звездата, ще си послужим с още едно доста силно приближение. Ще считаме, че участъкът от нейната орбита, по време на който се наблюдава пасаж на планетата пред диска на звездата, е почти праволинеен. (В действителност той е дъга от окръжността, описвана от планетата около звездата. Приближението може да се допусне, ако радиусът на орбитата на планетата е многократно по-голям от радиуса на звездата). Да определим времетраенето на пасажа на планетата по диска на звездата. За целта изчисляваме мащаба на хоризонталната ос. Чрез измерване можем да се убедим, че интервал от 0.2 денонощия отговаря на 83.5 mm по скалата на времето. Измерваме времетраенето на пасажа на планетата $\Delta t_1$ върху графиката. То се оказва равно на 82.5 мм. Като използваме мащаба, получаваме:

\Delta t_1 = 82.5\ \mathrm{mm} \cdot \frac{0.2\ \text{денонощия}}{83.5\ \mathrm{mm}} \approx 0.1976\ \text{денонощия}

В този интервал се включва времето за постепенното навлизане на планетата пред диска на звездата, преминаването на центъра на планетата по диаметъра на диска на звездата и постепенното излизане на планетата. Следователно общото разстояние, изминато то планетата, ще бъде равно на $R_P + 2R_S + R_P = 2(R_S + R_P)$ . Скоростта на планетата ще бъде:

v_P = \frac{2(R_S + R_P)}{\Delta t_1}

v_P \approx 43.97\ \mathrm{km/s}

Означаваме радиуса на орбитата на планетата около звездата с $r_P$ , а масата на звездата с $M_S$ . Тъй като планетата се движи по кръгова орбита около звездата, то можем да използваме формулата за кръгова скорост:

v_P = \sqrt{\frac{\gamma M_S}{r_P}}

където $\gamma$ е гравитационната константа. Оттук получаваме:

r_P = \frac{\gamma M_S}{v_P{}^2}

r_P \approx 27.6 \times 10^6\ \mathrm{km}

Орбиталният период на планетата около звездата ще бъде:

T_P = \frac{2\pi r_P}{v_P}

T_P \approx 3.94 \times 10^6\ s \approx 45.6\ \text{денонощия}

Радиуса на орбитата на луната около планетата $r_L$ определяме по аналогичен начин. Измерваме интервала от време $\Delta t_2$ , през който луната преминава пред или зад планетата по време на пасаж. Можем да използваме първия или шестия пасаж. Измерването върху графиката показва, че този интервал е равен на 25.5 mm. С помощта на мащаба получаваме:

\Delta t_2 = 25.5\ \mathrm{mm} \cdot \frac{0.2\ \text{денонощия}}{83.5\ \mathrm{mm}} \approx 0.06108\ \text{денонощия}

Означаваме с $v_L$ скоростта на луната и пресмятаме:

v_L = \frac{2(R_P + R_L)}{\Delta t_2}

v_L \approx 12.82\ \mathrm{km/s}

Орбиталният период на луната около планетата $T_L$ ни е даден и за радиуса на орбитата на луната можем да напишем:

r_L = \frac{v_L T_L}{2\pi} \approx 55\,400\ \mathrm{km}

Полученият орбитален радиус на луната е само около два пъти по-голям от радиуса на планетата. В действителност такава система трудно би могла да съществува, тъй като при това близко разстояние луната би се разрушила от приливното въздействие на планетата. Но тук става въпрос за хипотетична планета със спътник и при възприетата хипотеза, стояща в основата на компютърната симулация, не е отчетен този ефект. Освен това нашето пресмятане е твърде неточно, защото в такъв случай трудно може да се приеме приближението, че по време на преминаването си пред или зад планетата нейният спътник описва линия близка до отсечка от права линия. Но от нас се иска да направим само приблизителна оценка на търсените величини.

За да намерим масата на планетата $M_P$ използваме III закон на Кеплер:

\frac{r_L{}^3}{T_L{}^2} = \frac{\gamma M_P}{4\pi^2}

M_P = \frac{4\pi^2 r_L{}^3}{\gamma T_L{}^2}

M_P \approx 1.4 \times 10^{26}\ \mathrm{kg}

Масата на планетата е сравнима с масата на Нептун.

В компютърната симулация са заложени следните начални условия: планетата е с масата и радиуса на Нептун, спътникът е с масата и радиуса на Земята, радиусът на неговата орбита е около два пъти по-голям от радиуса на планетата, орбиталният период на планетата около звездата е 46 дни. Както се вижда, получените от нас резултати са доста близки до тези параметри.

Критерии за оценяване (общо 15 т.):

За правилни схеми на разположението на телата в моментите A, B, C, D – 4 т.

За правилен теоретичен метод за определяне на радиуса на планетата – 2 т.

За измервания, пресмятания и верен числен резултат – 1.5 т.

За определяне на орбиталния период на планетата – 2 т.

За правилен теоретичен метод за определяне на радиуса на спътника – 2 т.

За измервания, пресмятания и верен числен резултат – 1.5 т.

За определяне на масата на планетата – 2 т.

Шест криви на блясъка по време на пасажи на планета със спътник. — Пасажи на планета със спътник по диска на звезда – към задача 4.

Графикът на блясъка с отбелязани интервала $\Delta t_1$ и $\Delta t_2$ и моментите A, B, C и D.

Оригинал в Архива: NOA3_2020_9-10problems.pdf · официални решения: NOA3_2020_9-10solutions.pdf