Съдържание

НОА 2020, IV кръг · практически тур, Младша възраст — Задача 2. Неизвестна планета

Оригинал на условието (Word)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2020

XXIII Национална олимпиада по астрономия · IV кръг · практически тур · младша възраст · 2 септември 2020 г.

Внимание: Бележка към темата

Условие и официални решения са в един оригинален документ. Запазени са несъответствията в означенията на фигурата, единиците за рамката и числовите стойности в решението на задача 2; поясненията са при съответните места.

Условие

В таблицата са дадени стойностите на лъчевата скорост на една от планетите в Слънчевата система, относно Земята, в различни моменти от време (нулевият момент е произволно избран).

Начертайте графика, която показва как $V_r$ се променя с времето.
Определете в кои моменти лъчевата скорост е 0. В каква конфигурация, относно Земята, се намира планетата в тези моменти?
Използвайки начертаната графика, определете синодичния период на планетата, относно Земята.
Ако приемете, че тази планета се движи по кръгова орбита, лежаща в равнината на еклиптиката, то намерете нейния орбитален радиус.
Коя е тази планета?

Момент от време [d]	Vr [km/s]
20	-10.22
40	-11.2
60	-12.15
80	-12.95
100	-13.37
120	-12.9
140	-10.24
160	-2.89
180	6.73
200	11.84
220	13.38
240	13.49
260	13
280	12.16
300	11.12
320	9.93
340	8.63
360	7.3
380	5.98
400	4.66
420	3.34
440	1.95
460	0.42
480	-1.29
500	-3.16
520	-5.13
540	-7.06
560	-8.81
580	-10.29
600	-11.45
620	-12.28
640	-12.86
660	-13.19
680	-13.2
700	-12.61
720	-10.45

Решение

Върху предоставената ни милиметрова хартия построяваме графика на лъчевата скорост като функция на времето.

Прекарваме плавна крива през точките. Тя пресича хоризонталната линия, съответстваща на 0 km/s приблизително в моментите 160 d и 460 d след началото на отчитането.

Лъчевата скорост на планетата относно Земята е 0 в моменти от време в които векторите на техните орбитални скорости са успоредни. Тогава по лъча на зрение (т.е. правата, която свързва двете планети) и двете скорости нямат проекция.

От тук следва, че в тези моменти планетата е в горно или долно съединение (ако е вътрешна) или в съединение или опозиция (ако е външна).

Интервалът от време между два последователни момента, в които лъчевата скорост е 0 е равен на половин синодичен период на планетата. Измерената стойност на този интервал е 280 дни. Следователно, синодичният период е $T_{\rm SIN}=560\,\mathrm d$ .

Ние все още нямаме никаква информация за това дали тази планета е външна или вътрешна. Затова, използвайки вече получения синодичен период, можем да намерим нейния период на обикаляне около Слънцето в двата случая.

Нека орбиталният период на Земята е $T_{\text{З}}=365\,\mathrm d$ , а този на планетата е $P$ .

Ако планетата е външна, то:

\frac1{T_{\rm SIN}}=\frac1{T_{\text{З}}}-\frac1P.

От тук намираме, че:

P=\frac{T_{\rm SIN}T_{\text{З}}}{T_{\rm SIN}-T_{\text{З}}}\approx1048\,\mathrm d.

Това е приблизително 3 години. Планета с такъв орбитален период в Слънчевата система не съществува.

Затова разглеждаме случая, в който неизвестната планета е вътрешна. При това положение:

\frac1{T_{\rm SIN}}=\frac1P-\frac1{T_{\text{З}}}.

Така получаваме:

P=\frac{T_{\rm SIN}T_{\text{З}}}{T_{\rm SIN}+T_{\text{З}}}\approx223\,\mathrm d\approx0.61\,\text{г.}

Това е стойност много близка до орбиталния период на Венера. Следователно, именно тя е въпросната планета.

Съгласно третия закон на Кеплер за орбиталния радиус на планетата $r\,[\mathrm{AU}]$ е изпълнено:

r\,[\mathrm{AU}]^3=P\,[\text{г.}]^2.

Намираме, че $r\approx0.72\,\mathrm{AU}$ .

Оригинал в Архива: NOA4_2020_a20-IV-praktML.docx