Съдържание

Условие Графика Орбитален радиус Планета Данни от едноименната задача за младша възраст Решение

НОА 2020, IV кръг · практически тур, Старша възраст — Задача 2. Неизвестна планета

Оригинал на условието (изображение)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2020

XXIII Национална олимпиада по астрономия · IV кръг · практически тур · старша възраст · 2 септември 2020 г.

Внимание: Бележка към темата

Трите фотографии съдържат две отделни задачи. Задача 1 има пълно съответстващо решение под означение βP2. За задача 2 липсва отделният лист с таблицата и решение с исканите два начина; добавени са изрично означени данни и частично решение от едноименната задача за младша възраст в същия тур.

Условие

В таблицата са дадени стойностите на лъчевата скорост на една от планетите в Слънчевата система, относно Земята, в различни моменти от време (нулевият момент е произволно избран).

Графика

Начертайте графика, която показва как $V_r$ се променя с времето.

Орбитален радиус

Използвайки начертаната графика, за да определите орбиталния радиус на планетата по два различни начина. Приемете, че тази планета се движи по кръгова орбита, лежаща в равнината на еклиптиката.

Планета

Коя е тази планета?

Данни от едноименната задача за младша възраст

Във фотографиите за старша възраст липсва споменатата таблица. Следната таблица е от едноименната задача в оригиналния документ за младша възраст от същия тур. Това е изрично означен допълнителен източник; отделният лист с данни за старша възраст не е открит.

Момент от време [d]	Vr [km/s]
20	-10.22
40	-11.2
60	-12.15
80	-12.95
100	-13.37
120	-12.9
140	-10.24
160	-2.89
180	6.73
200	11.84
220	13.38
240	13.49
260	13
280	12.16
300	11.12
320	9.93
340	8.63
360	7.3
380	5.98
400	4.66
420	3.34
440	1.95
460	0.42
480	-1.29
500	-3.16
520	-5.13
540	-7.06
560	-8.81
580	-10.29
600	-11.45
620	-12.28
640	-12.86
660	-13.19
680	-13.2
700	-12.61
720	-10.45

Решение

Внимание: Непълно решение

Официалното решение е непълно.

Налично е официалното решение на едноименната задача за младша възраст. То е възпроизведено по-долу с неговите оригинални данни и числови несъответствия. Старшата версия изисква два различни начина за определяне на радиуса; отделен ключ за тази версия и втори начин не са намерени.

Графика и конфигурация

Върху предоставената ни милиметрова хартия построяваме графика на лъчевата скорост като функция на времето.

Оригинална графика от решението за младша възраст. Надписът t [s] е запазен, въпреки че таблицата и текстът използват дни.

Прекарваме плавна крива през точките. Тя пресича хоризонталната линия, съответстваща на 0 km/s приблизително в моментите 160 d и 460 d след началото на отчитането.

Лъчевата скорост на планетата относно Земята е 0 в моменти от време в които векторите на техните орбитални скорости са успоредни. Тогава по лъча на зрение (т.е. правата, която свързва двете планети) и двете скорости нямат проекция.

От тук следва, че в тези моменти планетата е в горно или долно съединение (ако е вътрешна) или в съединение или опозиция (ако е външна).

Интервалът от време между два последователни момента, в които лъчевата скорост е 0 е равен на половин синодичен период на планетата. Измерената стойност на този интервал е 280 дни. Следователно, синодичният период е $T_{\rm SIN}=560\,\mathrm d$ .

Период, радиус и планета

Ние все още нямаме никаква информация за това дали тази планета е външна или вътрешна. Затова, използвайки вече получения синодичен период, можем да намерим нейния период на обикаляне около Слънцето в двата случая.

Нека орбиталният период на Земята е $T_{\text{З}}=365\,\mathrm d$ , а този на планетата е $P$ .

Ако планетата е външна, то:

\frac1{T_{\rm SIN}}=\frac1{T_{\text{З}}}-\frac1P.

От тук намираме, че:

P=\frac{T_{\rm SIN}T_{\text{З}}}{T_{\rm SIN}-T_{\text{З}}}\approx1048\,\mathrm d.

Това е приблизително 3 години. Планета с такъв орбитален период в Слънчевата система не съществува.

Затова разглеждаме случая, в който неизвестната планета е вътрешна. При това положение:

\frac1{T_{\rm SIN}}=\frac1P-\frac1{T_{\text{З}}}.

Така получаваме:

P=\frac{T_{\rm SIN}T_{\text{З}}}{T_{\rm SIN}+T_{\text{З}}}\approx223\,\mathrm d\approx0.61\,\text{г.}

Това е стойност много близка до орбиталния период на Венера. Следователно, именно тя е въпросната планета.

Съгласно третия закон на Кеплер за орбиталния радиус на планетата $r\,[\mathrm{AU}]$ е изпълнено:

r\,[\mathrm{AU}]^3=P\,[\text{г.}]^2.

Намираме, че $r\approx0.72\,\mathrm{AU}$ .

Бележка към източника: в оригиналното решение са отпечатани моментите 160 d и 460 d, интервалът 280 дни и периодът 560 d. Тези стойности не са взаимно съгласувани; запазени са без измислена поправка.

Оригинал в Архива: 20-IV-praktST1.jpg · официални решения: bP1_sol.pdf · допълнителни данни: 20-IV-praktST2.jpg · допълнителни данни: 20-IV-praktST3.jpg · допълнителни данни: NOA4_2020_a20-IV-praktML.docx