НОА 2021, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 2. Да оцелеем на Меркурий

• А) $r = \sqrt{\frac{\sqrt{GMa(1-e^2)}}{\omega_M}} \approx 47.1\ \text{млн km}$
• Б) $V_{MAX} = (\omega_M - \omega_A)R \approx 1{,}66\ \mathrm{m/s}$

А) За да е изпълнено описаното условие, то трябва скоростта на терминатора по повърхността на Меркурий да е 0.

Това може да се случи, когато ъгловата скорост ω(r), с която планетата се движи по своята орбита, се изравни с ъгловата скорост $\omega_M$, с която Меркурий се върти около оста си.

Можем да изразим $\omega_M$, по следния начин:

В общия случай, ако разгледаме положение на Меркурий, при което той се намира на разстояние r от Слънцето и има ъглова скорост ω(r), моментът на импулса на планетата относно Слънцето е:

(m е масата на Меркурий, която ще се съкрати)

Нека да изразим момента на импулса на Меркурий, относно Слънцето, чрез неговите орбитални характеристики.

Означаваме с a голямата полуос на орбитата му, а с e нейния ексцентрицитет. Нека $V_A$ и $V_П$ да са скоростите на Меркурий в афелий и в перихелий.

От закона за запазване на енергията следва, че:

като: $r_A = a(1 + e)$ и $r_П = a(1 + e)$.

В моментите на перихелий и афелий, векторът на скоростта е перпендикулярен на радиус-вектора, който свързва планетата и Слънцето. Поради това е удобно да запишем и закона за запазване на момента на импулса за тези две положения:

След преработване на горните изрази, получаваме, че:

Оттук намираме, че орбиталният момент на импулса на Меркурий е:

Приравнявайки общия израз за момент на импулса, който написахме по-горе, с получения току-що и замествайки ъгловата скорост с тази на околоосно въртене на Меркурий, получаваме:

Следователно, търсеното разстояние е:

Б) Нека първо да намерим видимата ъглова скорост, с която Меркурий се движи по своят орбита в моментите на перихелий и афелий (с такава ъглова скорост Слънцето се движи по неговата еклиптика).

Изразите за тези ъглови скорости са:

След пресмятане получаваме, че:

(Тук виждаме, че в перихелий орбиталната ъглова скорост на Меркурий наистина е по-голяма от тази, с която той се върти около оста си).

Скоростта, с която трябва да се движим по екватора на планетата така, че да „настигнем“ Слънцето, се определя от разликата между орбиталната ъглова скорост и ъгловата скорост, с която Меркурий се върти около оста си.

От получените числени стойности, можем да заключим, че тази скорост е максимална, когато Меркурий преминава през афелия на своята орбита. Ако R е радиусът на Меркурий, то изразът за нея е:

Критерии за оценяване:

А) 9т.

• за правилни съображения при какво условие терминаторът на Меркурийще е неподвижен – 1т.
• за намиране на ъгловата скорост на околоосното въртене на Меркурий – 1т.
• за правилен израз за момента на импулса в общ вид - 1т.
• за правилен подход за изразяване на момента на импулса, чрез орбиталните характеристики и верен резултат (учениците не са длъжни да извеждат всички използвани формули, могат да ги използват и на готово) – 4т .
• за правилен израз а за разстоянието Меркурий-Слънце, при което терминаторът се оказва неподвижен и верен числен резултат – 2т.

Б) 6т.

• за изразяване на ъгловите скорости в афелий и перихелий и верни числени стойности – 2т.
• за съобразяване, че скоростта, с която трябва да се движим, за да „догоним“ терминатора зависи от разликата в ъгловите скорости – 1т.
• правилен израз за максималната скорост, с която трябва да се движим – 2т .
• верен числен резултат – 1т.

(В случай, че в решението на ученика не се съдържа извеждане на скоростите в афелий и перихелий, но на готово са използвани правилните формули, следва да се присъди пълният брой точки.)