НОА 2021, III кръг (национален), 7–8 клас — Задача 5. Окултация на Венера от Луната

• А) 45 °

  Фазата, измерена по снимката, е Ф = d/D ≈ 5/33 ≈ 0,15; графичното построение дава ъгъл 135° между посоката към Земята и посоката към Слънцето, откъдето 180° − 135° = 45°.

• Б) $t = \frac{45^{\circ}}{360^{\circ}}\,T_{SYN} \approx 3^{d}17^{h}$ ≈ $3.7$ дни

  Реалната възраст е почти точно 4 дни.

• В) Венера е практически в максимална елонгация; зрителният лъч сключва 90° със слънчевите лъчи, така че тя се вижда огряна наполовина (осветена е западната половина на диска).

  В авторското решение конфигурацията е наречена „максимална източна елонгация“, а курсивната бележка след това говори за максимална западна елонгация на 15 януари 2009 г.

А) Първо трябва да определим количествено фазата на Луната. За целта, измерваме максималната дебелина на лунния сърп d и диаметъра на целия лунен диск по изображението D. Фазата на Луната Ф се определя от съотношението:

Измерванията върху изображението показват, че d = 5 mm, а D = 33 mm, откъдето пресмятаме Ф ≈ 0,15.

За да намерим ъгловото отстояние между Луната и Слънцето, постъпваме по следния начин:

• Начертаваме кръг с достатъчно голям диаметър (примерно 8 cm), който ще представлява Луната. Но в сравнение с изображението на снимката, тук ще си представяме Луната, завъртяна около хоризонтална ос, така че точката P, означена върху снимката, да се окаже обърната точно към нас и следователно в центъра на начертания кръг. Обозначаваме посоката към земния наблюдател спрямо този кръг;
• Върху хоризонталния диаметър на начертаната от нас Луна отмерваме отсечката d, чиято дължина трябва да е в същото съотношение с диаметъра, в каквото е най-широката част на осветения лунен сърп към диаметъра на лунното изображение върху снимката.
• Върху нашата схема на Луната начертаваме терминатора. В случая той ще преминава през центъра на лунното изображение, т.е. през точката P.
• Перпендикулярно на терминатора начертаваме посоката към Слънцето. От тази посока идват слънчевите лъчи и можем да означим осветената от Слънцето и неосветената половина на Луната.
• Измерваме с транспортир ъгъла между посоката от Луната към Земята и посоката към Слънцето. Ако сме работили в правилния мащаб за отсечката d, получаваме за този ъгъл 135º.
• Считаме, че разстоянието до Слънцето е много по-голямо от разстоянието Земя – Луна. Поради това можем да приемем, че направленията Земя-Слънце и Луна-Слънце са успоредни едно на друго;
• Оттук следва, че за наблюдател на Земята ъгловото разстояние между Луната и Слънцето е 180º – 135º = 45º.

При решаването на това подусловие се изисква да се направят много графични построения и измервания. По тази причина е напълно възможно, измерените от учениците стойности слабо да се различават от тези, които са написани в авторското решение. Също така, възможно е някои ученици да са използвали различен начин да намерят ъгловото отстояние. Ако методът, по който ученикът е работил, е изпълнен правилно и е получено ъглово отстояние близко до 45º, следва да се присъдят пълен брой точки.

Б) Синодичният лунен месец е с продължителност $T_{SYN} = 29{,}5^{d}$. Това е времето, за което тя прави една пълна обиколка около Земята, но относно правата линия, която свързва Земята и Слънцето.

Знаем, че за земния наблюдател по време на новолуние Луната отстои на 0º от Слънцето. Следователно, интервалът от време, който е изминал от последното новолуние преди окултацията, до момента, в който кадърът е бил заснет е:

Това е и търсената възраст на Луната. Реалната възраст е почти точно 4 дни.

В) За да намерим как Венера би изглеждала през телескоп, с който можем ясно да различим нейната фаза, първо трябва да намерим какъв ъгъл сключва зрителният лъч от земния наблюдател, с лъчите падащи върху Венера от Слънцето. За тази цел постъпваме по следния начин:

• Построяваме орбитите на Земята и на Венера в мащаб (диаметърът на земната орбита може да е примерно 10 cm, а този на орбитата на Венера – 7.2cm);
• Означаваме Земята в някакво положение по своята орбита (без ограничение на общността точно къде);
• Тъй като по небето виждаме Луната и Венера много близо една до друга, то можем да направим извода, че те са на практически еднакво ъглово отстояние от Слънцето. За да намерим къде е Венера по орбитата си, начертаваме права, с начало Земята, която сключва ъгъл 45º с отсечката Земя-Слънце.
• Забелязваме, че тази права практически се допира до орбитата на Венера. Това означава, че в този момент за нас тя е била практически в максимална елонгация (в случая това е максимална източна елонгация).
• В такава конфигурация, зрителният лъч от земния наблюдател сключва ъгъл 90º със слънчевите лъчи, които огряват Венера. Поради това, би следвало ние да я виждаме огрята наполовина, както е показано на схемата по-долу. Всъщност, огрята би трябвало да е западната половина на диска на Венера.

В действителност най-близката във времето максимална западна елонгация на Венера е била на 15 януари 2009г. На 1 декември 2008г тя е била на ъглово отстояние, което е много слабо различаващо се от максималното възможно, защото около своите максимални елонгации вътрешните планети имат ъглова скорост на фона на съзвездията приблизително равна на тази на Слънцето. С използваната точност, на практика не можем да измерим разликата.

Критерии за оценяване:

А) 6т.

- за количествено намиране на фазата на Луната – 2т.

- за правилен графичен метод, по който се намира ъгловото отстояние между Луната и Слънцето – 4т.

(Методът може да се различава от авторския, но ако е правилен и прецизно изпълнен, би следвало да се присъдят максимален брой точки).

Б) 3т.

- за правилен метод за намиране на възрастта на Луната и правилен израз – 2т

- за верен числен отговор (съобразно полученото ъглово отстояние)– 1т.

В) 6т.

- за построяване на двете орбити в мащаб – 1т.

- за графично намиране на положението на Венера по нейната орбита – 1т.

- за съобразяване в каква конфигурация приблизително е Венера – 1т.

- за съобразяване на ъгъла между зрителния лъч и слънчевите лъчи – 1т.

- за правилни разсъждения относно фазата на Венера – 1т.

- за схема, на която фазата на Венера е показана – 1т.