НОА 2021, III кръг (национален), 9–10 клас — Задача 4. Proxima c

• А) $R \approx 1.44$ au; $T \approx 5.21$ години.

  От измерванията: голяма полуос $R = 44.3$ mm, $x = 28.2$ mm, $y = 43.8$ mm, мащабна линийка $m = 40$ mm за $1''$.

• Б) 0.00082

  $E_{Px}/E_{Sol} = 0.0017 \cdot 1^2/(1.44)^2 = 8.2 \cdot 10^{-4}$.

• В) 0.0000233

  Отношението на визуалните осветености е $2.33 \cdot 10^{-5}$; отношението на болометричните осветености е 35.2 пъти по-голямо, защото Проксима е червена звезда с много ниска температура и излъчва по-голямата част от енергията си в инфрачервената област.

• Г) До планетата достига изключително малко енергия — тя не е достатъчна да поддържа живот нито на повърхността на планетата, нито на някой неин спътник. Възможни са само примитивни, най-вероятно едноклетъчни, форми на живот на спътник със силно вътрешно приливно триене и наличен подземен океан от течна вода.

Решение:

Забелязваме, че звездата се намира почти точно в центъра на построената елипса на орбитата на планетата. Това означава, че видимата елиптична форма на орбитата е следствие на това, че равнината на орбитата е наклонена към зрителния лъч, а в действителност орбитата е почти кръгова. В противен случай Проксима щеше да се намира не в центъра на елипсата, а силно изместена настрани, примерно около някой от фокусите на елипсата. Единствената възможност да виждаме звездата в центъра на елипсата е истинската форма на орбитата на планетата да е окръжност, или много близка до окръжност.

На фигурата е показана освен елипсата на видимия на небето път на планетата и вероятната истинска форма на орбитата, която е много близка до окръжност. На представената схема кръговата орбита е завъртяна на някакъв ъгъл около един от диаметрите, изобразен с пунктирна линия. Виждаме, че в така построената елиптична проекция на кръговата орбита, този диаметър се разполага върху голямата ос на елипсата. Следователно голямата ос на елипсата е равна на диаметъра на кръговата орбита на планетата, а голямата полуос на елипсата е равна на радиуса на орбитата на планетата. Ако построим голямата ос и проектираме положенията на планетата върху нея, чрез отсечки перпендикулярни на оста, ще получим отсечките $y$ и $x$. Те са катети в правоъгълни триъгълници, в които хипотенузите са равни на радиуса на кръговата орбита, която от своя страна е равна на голямата полуос на елипсата. От тези правоъгълни триъгълници може да определим ъглите $\alpha$ и $\gamma$. От схемата става ясно, че ъгъл $\beta = 180° - \alpha$, а ъгълът, на който се е завъртяла планетата, от точка 1 до точка 2 за около 2 години, е равен на сумата от ъглите $\gamma$ и $\beta$: $\varphi = \gamma + \beta = \gamma + 180° - \alpha$.

Върху даденото изображение измерваме голямата ос на елипсата и намираме, че голямата полуос (и следователно радиусът на орбитата) е $R = 44.3$ mm. От дадените положения на планетата спускаме перпендикуляри към голямата ос и измерваме получените отсечки $x$ и $y$: $x = 28.2$ mm, $y = 43.8$ mm.

От правоъгълните триъгълници определяме ъглите $\alpha$ и $\gamma$:

Ъгъл $\varphi$ е изминат за $\Delta T = 2$ години. Следователно 1 обиколка планетата прави за:

Дължината на мащабната линийка с ъглов размер 1 дъгова секунда равна на $m = 40$ mm. Паралаксът на Проксима е $\pi = 0''\!.768$. Под такъв ъгъл се вижда 1 au. Следователно ъглов размер от $1''$ ще съответства на $m_{au} = 1/\pi'' = 1.302$ au. За радиуса на орбитата получихме, че е $R = 44.3$ mm. Тогава радиусът на орбитата в астрономически единици ще бъде:

Осветеностите $E_{Px}$ и $E_{Sol}$, които създават съответно Проксима върху повърхността на планетата и Слънцето върху Земята, са право пропорционални на светимостите $L_{Px}$ и $L_{Sol}$ на Проксима и Слънцето и обратно пропорционални на квадратите на разстоянията $r_{Px}$ и $r_{Sol}$ от Проксима до планетата и от Слънцето до Земята:

Разстоянията от звездите до планетите са дадени в астрономически единици.

Сравняването на осветеностите във визуалната част на видимата област на спектъра ще извършим като първо сравним визуалните светимости на звездите. Те са пропорционални на осветеностите, когато звездите са поставени на едно и също разстояние. Нека това е стандартното разстояние от 10 pc. Първо определяме разстоянието до Проксима в парсеци и астрономически единици:

$r = 1/\pi = 1.302$ pc $= 1.302\times 206265$ au $= 268578$ au $\approx 269000$ au.

Ще определим абсолютните визуални звездни величини:

Тук $r_{Sol} = 1$ au $= (1/206265)$ pc, обаче $r'_{Px} = 1.302$ pc (разстоянието, на което визуалната звездна величине е равна на 11.13). С $m_{VSol}$ и $m_{VPx}$ сме означили видимите визуални звездни величини на Слънцето и на Проксима.

От разликата в абсолютните визуални звездни величини преминаваме към отношението на визуалните светимости:

Но планетите са на различно разстояние от звездите. Затова умножаваме това отношение по рицепрочните стойности на квадратите на разстоянията на планетите от звездите:

Отношението на визуалните осветености е:

Тук със секонд сме означили осветеностите върху планетите във визуалната област.

Виждаме, че отношението на болометричните осветености е над 35 пъти по-голямо то отношението на визуалните осветености. Причината е в това, че Проксима е червена звезда с много ниска температура. Тя излъчва огромна част от енергията си в инфрачервената област. Затова във визуалната област тази звезда има много слаб блясък.

До планетата достига изключително малко енергия. Тя не е достатъчна да поддържа живот на повърхността нито на планетата, нито на някой неин спътник. Възможни са само примитивни, най-вероятно едноклетъчни, форми на живот на спътник със силно вътрешно приливно триене и наличен подземен океан от течна вода.

Критерии за оценяване (общо 15 т.):

За правилни разсъждения и отбелязване на факта, че орбитата на планетата е много близка до кръговата – 2 т.

За правилна математическа постановка на задачата за определяне на периода на обикаляне на планетата около Проксима – 3 т.

За верен числен резултат – 1 т.

За правилни разсъждения и математическа постановка на задачата относно болометричните осветености и верен числен резултат – 3 т.

За правилни разсъждения и математическа постановка на задачата за осветеностите във визуалната област, верен числен резултат и обяснение – 5 т.

За правилни разсъждения относно възможността за обитаемост на планетата – 1 т.