Съдържание

НОА 2021, IV кръг, Старша възраст — Задача 2. Тясна двойна система

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2021

XXIV Национална олимпиада по астрономия, IV кръг, 23 юли 2021 г., Варна, практически тур, старша възраст · 23 юли 2021 г. · 20 т.

Условие

Тясната двойна система SDSS J104738.24+052320.3 (накратко SDSS 1047+0523) се състои от бяло джудже и червено джудже. Спектър на системата в диапазона 3800-9200 ангстрьома е даден на Фиг. 1.

Спектър на тясната двойна система SDSS J104738.24+052320.3: поток спрямо дължина на вълната от 3800 до 9200 Å; силни Балмерови линии в синия край и молекулни ивици в червения край. — Фиг. 1. Спектър на SDSS J104738.24+052320.3 в диапазона 3800–9200 Å.

Фиг. 1

Видимите звездни величини на обекта в система Вега са: g = 19.10, i = 18.22. По разширението на Балмеровите линии е пресметнато гравитационното ускорение на повърхността на бялото джудже $g = 350\,000$ m/s $^2$ . Разстоянието до обекта е 480 pc, а температурата на бялото джудже е 12400 K. Болометричната корекция в g за тази температура е $M_\mathrm{bol} - M_\mathrm{g} = -0.6$ mag.

Справочни данни:

Гравитационна константа – $G = 6.67\ \mathrm{kg^{-1}m^{3}s^{-2}}$

Радиус на Слънцето – 696000 km

Маса на Слънцето – $1.99 \times 10^{30}$ kg

Температура на Слънцето – 5770 K

А Определете масата на бялото джудже в слънчеви маси. Може да приемете, че червеното джудже не свети изобщо във филтър g, както и да пренебрегнете междузвездната екстинкция. Абсолютната звездна величина на Слънцето е +4.75 mag. Приемете, че бялото джудже свети със спектър, близък до този на Вега, т.е. има еднаква абсолютна звездна величина във всички филтри. [4 т.] [4 т.]

Б Приемете, че бялото джудже свети със спектър, близък до този на Вега. Използвайки звездните величини в g и i, върху дадения на работния лист спектър начертайте изолирания спектър на бялото джудже максимално точно. Извадете го графично от целия спектър и нарисувате върху фигурата и спектъра на червеното джудже. Филтър g обхваща дължини на вълната от 4000 до 5500 A, а филтър i – от 7000 до 8500 A. [3 т.] [3 т.]

В Оценете светимостта на червеното джудже, ако приемете, че отношението на потоците от бялото джудже и червеното джудже в интервала 3800-7200 A е равно на отношението на светимостите им в целия електромагнитен спектър. Дадена е таблица с типични температури, светимости и маси на M-джуджета по главната последователност. От получената светимост намерете най-вероятния спектрален клас и очакваната маса на червеното джудже. [3 т.]

Спектр. клас	T [K]	L [L $_\mathrm{sol}$ ]	M [M $_\mathrm{sol}$ ]
M0	3750	0.080	0.49
M1	3700	0.055	0.44
M2	3600	0.035	0.38
M3	3500	0.027	0.36
M4	3400	0.022	0.34
M5	3200	0.011	0.28
M6	3100	0.0051	0.22
M7	2900	0.0032	0.19
M8	2700	0.0020	0.17

[3 т.]

Г На Фиг. 2 са дадени примерни спектри на червени джуджета от класове M0-M7. Сравнявайки с тях, определете визуално от кой спектрален клас е червеното джудже в SDSS 1047+0523. Изполвайки таблицата от предното подусловие, определете очакваната маса на червеното джудже. [3 т.]

Осем нормирани спектъра с отместване, означени M0 до M7, в диапазона 5200–9000 Å; молекулните ивици се задълбочават от M0 към M7. — Фиг. 2. Примерни спектри на червени джуджета от класове M0–M7.

Фиг. 2 [3 т.]

Д На Фиг. 3 е дадена крива на лъчевите скорости, получена по дублетната линия на натрия с дължини на вълната 8183 A и 8195 A. Правете измерванията си върху кривата на работния лист. Ако приемете, че компонентите на системата лежат в равнината на зрителния лъч, пресметнете масата на червеното джудже. [4 т.]

Лъчева скорост в km/s спрямо орбитална фаза от около 0.25 до 2.2; точките с грешки очертават синусоида с максимум около +235 km/s и минимум около −135 km/s. — Фиг. 3. Крива на лъчевите скорости на SDSS J1047+0523 (Porb = 9.17 h).

Фиг. 3 [4 т.]

Е Компонентите в системата са много близки и се движат с високи скорости, поради което загубата на енергия от излъчване на гравитационни вълни ще се окаже значителна в бъдеще. На Фиг. 4 са дадени резултатите от модел на SDSS 1047+0523, който приема маса на системата 0.6 слънчеви маси. Те показват как периодът на системата ще се скъсява в бъдеще поради излъчване на гравитационни вълни. И двете оси са в логаритмична скала, времето от настоящия момент е дадено в години по y-оста, а орбиталният период – по x. Определете сумарната енергия, която системата ще излъчи в гравитационни вълни в следващите 13.7 милиарда години според този модел. Правете измерванията си върху работния лист. [3 т.]

Логаритъм от възрастта на изстиване в години спрямо логаритъм от орбиталния период в дни; две криви, означени SDSS1414−0132 и SDSS1047+0523, които рязко се спускат надолу.

[3 т.]

Отговори

А $M = 0.43\,M_\mathrm{sol}$

Модул на разстоянието $g - M_\mathrm{g} = 5\lg(r[\mathrm{pc}]) - 5 = 8.41$ mag; $M_\mathrm{bol} = 10.09$ ; $L/L_\mathrm{sol} = 0.0073$ ; от закона на Стефан-Болцман $R = 0.0185\,R_\mathrm{sol}$ ; от $g = GM/R^2$ следва $M = 0.43\,M_\mathrm{sol}$ .
Б Звездната величина на изолираното бяло джудже в i е около 19.10; приносът на червеното джудже прави системата с 0.88 mag по-ярка, т.е. между 7000 и 8500 A червеното джудже дава малко повече от 50% от потока ( $2.5\lg 2 = 0.75$ mag). Спектърът на бялото джудже се продължава надясно по Планкова крива, отрязвайки около ½ от площта под спектъра между 7000 и 8500 A.
В $L_M \approx 0.0018\,L_\mathrm{sol},\quad \text{спектрален клас M8},\quad M = 0.17\,M_\mathrm{sol}$

По декомпозирания спектър отношението на потоците е около 4, откъдето светимостта на червеното джудже е около 0.0018 слънчеви — спектрален клас M8 и маса $0.17\,M_\mathrm{sol}$ .
Г $\text{спектрален клас M6},\quad M = 0.2\,M_\mathrm{sol}$

Сравнявайки визуално дълбочината на молекулните ивици на TiO с тези на примерните спектри, се получава спектрален клас M6.
Д $q = 0.31,\quad M_2 = 0.13\,M_\mathrm{sol}$

Минимумът е при $-135$ km/s, максимумът при $+235$ km/s, т.е. полуамплитудата е $v_2 = 185$ km/s. От III закон на Кеплер $(1+q)^2 = 2\pi G M_1 / (P v_2^{3})$ следва отношение на масите 0.31. Това е горна граница, тъй като наклонът на орбитата не е известен.
Е $\Delta E = M_1 M_2 \left(\frac{\pi^2 G^2}{2(M_1+M_2)}\right)^{1/3}\left(P_{13.7}^{-2/3} - P_0^{-2/3}\right) = 2.1 \times 10^{39}\ \text{J}$

$\lg(13.7\times10^{9}) = 10.14$ ; хоризонталата пресича графиката при $x = -0.58$ , т.е. $P_{13.7} = 10^{-0.58}$ d $= 6.31$ h.

Решение

Решение:

а) Модулът на разстоянието е

g - M_\mathrm{g} = 5\lg(r[\mathrm{pc}]) - 5 = 8.41\ \mathrm{mag}.

Абсолютната болометрична звездна величина е $M_\mathrm{bol} = 19.10 - 8.41 - 0.6 = 10.09$ . Тъй като червеното джудже не свети в g, това е характеристика само на бялото джудже. Намираме светимостта на бялото джудже от закона на Погсън. Сравняваме със Слънцето, тъй като всички звездни величини на бялото джудже са приблизително равни:

\frac{L}{L_\mathrm{sol}} = 10^{-0.4(M_\mathrm{g} - M_\mathrm{sol})} = 0.0073.

От закона на Стефан-Болцман намираме радиуса на бялото джудже:

\frac{L}{L_\mathrm{sol}} = \left(\frac{R}{R_\mathrm{sol}}\right)^{2}\left(\frac{T}{T_\mathrm{sol}}\right)^{4}.

Получаваме $R = 0.0185\,R_\mathrm{sol}$ . Намираме масата от формулата за гравитационно ускорение на повърхността, $g = \frac{GM}{R^{2}}$ . Масата е $\mathbf{M = 0.43\,M_\mathrm{sol}}$ .

б) Приемаме, че бялото джудже има еднаква звездна величина във всички филтри, следователно звездната величина на изолираната му светлина в i трябва да е около 19.10. С приноса на червеното джудже звездната величина на системата става 18.22, т.е. с 0.88 mag по-ярка. Следователно, между 7000 и 8500 A (филтър i) червеното джудже допринася с малко повече от 50% от потока ( $2.5\lg 2 = 0.75$ mag). Продължаваме спектъра на бялото джудже надясно, следейки Планкова крива и отрязвайки около ½ от площта под спектъра (потока) между 7000 и 8500 A. После вадим този спектър графично от общия спектър на обекта и получаваме изолирания спектър на червеното джудже. Декомпозицията може да се види с тънки линии на графиката:

Спектър на SDSSJ104738.24+052320.3 с наложени с тънки пунктирани линии спектри на бялото джудже (спадащ континуум) и на червеното джудже (нарастващ в червено), под него панел с остатъци.

в) По декомпозирания спектър мерим отношението на потоците от бялото и от червеното джудже. Получаваме около 4. С грубото приближение, че и в целия електромагнитен спектър

\frac{L_{WD}}{L_M} \approx 4,

светимостта на червеното джудже се получава около 0.0018 слънчеви. Сравнявайки с таблицата, получаваме спектрален клас M8 и маса на червеното джудже $\mathbf{0.17\,M_\mathrm{sol}}$ .

г) Сравнявайки визуално дълбочината на молекулните ивици на TiO с тези на примерните спектри, получаваме спектрален клас M6 и маса на червеното джудже $\mathbf{0.2\,M_\mathrm{sol}}$ .

д) Прокарваме плавна синусоидална крива през точките на графиката, за да получим кривата на лъчевите скорости.

Същата крива на лъчевите скорости на SDSS J1047+0523 с прокарана през точките пунктирана синусоида и хоризонтална пунктирана линия през средното ниво.

Минимумът е при $-135\ \mathrm{km/s}$ , а максимумът при $+235\ \mathrm{km/s}$ . Половината амплитуда е $v_2 = 185\ \mathrm{km/s}$ . Това е скоростта на червеното джудже около центъра на масите, защото измерваната светлина (при 8200 A) е от червеното джудже. Записваме III Закон на Кеплер:

\frac{(r_1 + r_2)^{3}}{P^{2}} = \frac{G(M_1 + M_2)}{4\pi^{2}}.

Ако относителната скорост на двете компоненти една спрямо друга е v, то

\frac{v}{v_2} = \frac{v_1 + v_2}{v_2} = \frac{M_1 + M_2}{M_1} \equiv (1 + q),

r_1 + r_2 = \frac{vP}{2\pi}.

Заместваме в III Закон на Кеплер:

\frac{(vP)^{3}}{P^{2}} = 2\pi G(M_1 + M_2),

v^{3} = 2\pi G M_1 (1 + q)/P.

Изразяваме $v$ с $v_2$ и решаваме за отношението на масите $q$ :

v_2^{3}(1 + q)^{3} = 2\pi G M_1 (1 + q)/P,

(1 + q)^{2} = \frac{2\pi G M_1}{P v_2^{3}}.

Получаваме отношение на масите 0.31, т.е. маса на червеното джудже $\mathbf{0.13\,M_\mathrm{sol}}$ . В реалния случай това е горна граница, тъй като не знаем наклона на орбитата (отклонение $i$ от равнината на зрителния лъч внася коефициент $\cos^{3} i$ в дясната страна на горното уравнение).

е) Логаритъм от времето в години е $\lg(13.7 \times 10^{9}) = 10.14$ . Нанасяме на диаграмата хоризонтала с $y = 10.14$ . Тя пресича графиката в $x = -0.58$ , което е логаритъм от периода в дни. Следователно периодът на системата след 13.7 милиарда години ще бъде

P_{13.7} = 10^{-0.58}\ \mathrm{d} = 6.31\ \mathrm{h}.

Пълната механична енергия на орбитата е

E = -\frac{G M_1 M_2}{2a}.

Промяната ѝ между началния и крайния момент представлява енергията $\Delta E$ , излъчена като гравитационни вълни, тоест

\Delta E = -\frac{G M_1 M_2}{2}\left(\frac{1}{a_0} - \frac{1}{a_{13.7}}\right).

Изразяваме големите полуоси с III закон на Кеплер, получавайки

\Delta E = M_1 M_2 \left(\frac{\pi^{2} G^{2}}{2(M_1 + M_2)}\right)^{\frac{1}{3}}\left(P_{13.7}^{-\frac{2}{3}} - P_0^{-\frac{2}{3}}\right) = \mathbf{2.1 \times 10^{39}\ J}.

Александър Куртенков

Оригинал в Архива: 21-IV-praktST.pdf · официални решения: a21-IV-praktST.pdf