НОА 2022, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 3. Промяна на орбитата

• А) По-малък импулс се иска при пресичане на екватора: ΔV = 2634 m/s, p₁ = 5.268·10⁷ kg·m/s под ъгъл 99°52′19″.2 спрямо посоката на движение; в най-близката до полюса точка ΔV₂ = 4308 m/s, p₂ = 8.616·10⁷ kg·m/s под ъгъл 118°42′19.8″

  Новият наклон е i = 69°.744 ≈ 69°45′, Δi = 19°.744 ≈ 19°45′, V = 7679.2 m/s, β = 32°.59.

• Б) 10860 m/s

  ΔV₃ = V√2 = 10860 m/s под ъгъл 135° спрямо моментната скорост, p₃ = 21.72·10⁷ kg·m/s. За втора космическа скорост ΔV_II = 3180.8 m/s, p_II = 6.36·10⁷ kg·m/s = p₃/3.415.

• В) Да – през силно изтеглена елиптична орбита: смяна на равнината в апогея и връщане на кръгова полярна орбита, сумарно 2p_II = 0.586 p₃, т.е. почти два пъти по-икономично

  Пренебрегнати са малките импулси в апогея.

Решение (13т.):

Първо трябва да определим наклона на новата орбита. За да се промени орбитата с минимален допълнителен импулс, новата орбита трябва да е с минимален наклон необходим за наблюдения на цялата повърхност на Земята. Този наклон се получава като изчислим къде равнина, допирателна към полюса, достига височината на орбитата на обсерваторията.

Очевидно е в сила равенството:

Оттук следва:

Това е наклонът на орбитата, от която може да се наблюдава цялата земна повърхност.

Нека, първо, да разгледаме случая на орбитална корекция, когато обсерваторията пресича равнината на земния екватор:

Използваме косинусовата теорема:

Но векторите $V_o$ и $V_1$ са равни по абсолютна стойност, т.е. по големина. Те се различават само по посока. Нека означим абсолютната им стойност с V. Тогава:

Скоростта V е всъщност кръговата скорост на височина h. Намираме я от формулата за кръгова скорост:

Пресмятаме абсолютната стойност на корекцията към скоростта:

Добавъчният импулс е:

Ъгълът на добавъчния импулс относно посоката на движение на обсерваторията е:

Нека корекцията се прави в най-близката до полюса точка. Там скоростта на апарата е успоредна на екватора и перпендикулярна към меридиана. За да определим на какъв ъгъл трябва да се промени посоката на движение на космическата обсерватория трябва да разгледаме правоъгълния сферичен триъгълник ограничен от дъгите, които свързват надполярната точка с най-северните точки на двете орбити и дъгата разположена между тях. (Всички дъги са части от големи кръгове). Дъгата $AN = 90° - i_o$, а дъгата $BN = 90° - i$. Прилагаме синусовата теорема за сферичния триъгълник NAB:

При корекцията на орбитата се променя само посоката на скоростта, но не и нейната големина (абсолютна стойност).

Добавъчният импулс е:

Виждаме, че той е съществено по-голям от необходимия импулс $p_1$, придаден в равнината на екватора. Причината е, че в този случай е необходимо да се промени посоката на движение на по-голям ъгъл. Следователно получихме, че $p_2 > p_1$.

Ъгълът на допълнителния импулс, относно моментната посока на движението на обсерваторията е:

Ако космическата обсерватория се движи в равнината на екватора, то за да тръгне тя по полярна орбита трябва да промени посоката на движение на 90°. Началната и крайната скорост ще са равни по големина, но ще сключват ъгъл 90°. Промяната на скоростта ще е хипотенузата в правоъгълен равнобедрен триъгълник и по-големина ще е по-голяма от скоростта на апарата с фактор $\sqrt{2}$. Следователно:

Ъгълът между моментния и коригиращия импулс очевидно е 135°.

Големината на добавения импулс ще бъде:

В този случай ъгълът между началната и крайната скорост е най-голям и това води до най-големия необходим допълнителен импулс, за да бъде реализирата промяната на орбитата на космическата обсерватория.

За да премине на параболична орбита скоростта на обсерваторията трябва да достигне същата стойност:

Обаче, в този случай ъгълът е 0° и ние може да използваме изцяло орбиталната скорост на обсерваторията, която е равна на първа космическа скорост. Тогава добавката към скоростта ще бъде равна на разликата между втора и първа космическа скорост:

Необходимият допълнителен импулс е:

Нека сравним двата допълнителни импулса:

Виждаме, че импулсът необходим за достигане на параболична скорост е повече от 3 пъти по-малък от допълнителния импулс за директна промяна от екваториална към полярна орбита.

Предвид полученото по-горе може да си представим следната схема за корекция на орбитата. Първо се преминава на силно изтеглена елиптична орбита. Скороста в апогей ще много малка, примерно няколко десетки метра в секунда, и с много малък добавъчен импулс може да променим равнината на орбитата от екваториална на полярна. С втори импулс, близък до $p_{II}$ и придаден в перигея на орбитата, обсерваторията се връща на кръгова орбита около Земята, която вече ще е полярна орбита. Сумата от двата импулса ще е равна на удвоения импулс $p_{II}$ и, както лесно се съобразява, той ще бъде по-малък от $p_3$ с фактор 2/3.415 = 0.586. Почти два пъти по-малък от директната едноимпулсна промяна на орбитата на космическата обсерватория.

Разбира се, тук сме пренебрегнали малките импулси в апогея на орбитата. Но и с тях сумарният импулс ще е съществено по-малък.

Критерии за оценяване (общо 13 т.):

За правилно определяне на новия наклон на орбитата – 1 т.

А) За правилно определяне на посоката и големината на добавъчния импулс на екватора и верен числен резултат – 3 т.

За правилно определяне на посоката и големината на добавъчния в най-северната точка на орбитата и верен числен резултат – 3 т.

Б) ) За правилно определяне на посоката и големината на добавъчния импулс за преминаване от екваториална орбита към полярна и верен числен резултат – 2 т.

За намиране на добавъчния импулс за придобиване на втора космическа скорост – 1 т.

В) За правилни разсъждения относно по-икономичен начин за преминаване на полярна орбита чрез преминаване през силно ексцентрична орбита и числени пресмятания и сравнения – 3 т.