Съдържание

НОА 2022, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 2. Поглед в миналото

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2022

XXIV Национална олимпиада по астрономия 2022, III кръг, ученици от 11-12 клас · 7 май 2022 г. · 13 т.

Условие

Когато гледаме звездите, всъщност ги виждаме в миналото, тъй като е нужно време на светлината да измине разстоянието от тях до нас. Но дали звездите се променят осезаемо за това време?

Диаграма Херцшпрунг-Ръсел: по хоризонталната ос повърхностна температура от 25 000 K вляво до под 4000 K вдясно, по вертикалната ос светимост от 10⁻² до над 10⁴ слънчеви светимости. Червена линия отбелязва главната последователност с нулева възраст. Начертани са еволюционни трекове за 0.5, 1, 1.5, 3, 5 и 15 слънчеви маси с точки, до които са изписани възрасти: 1.01·10⁷, 1.11·10⁷, 1.19·10⁷ и 1.20·10⁷ години за 15 M☉; 6.55·10⁷, 6.98·10⁷ и 7.02·10⁷ за 5 M☉; 2.21·10⁸, 2.46·10⁸ и 2.51·10⁸ за 3 M☉; 1.55·10⁹, 2.09·10⁹ и 2.39·10⁹ за 1.5 M☉; 7·10⁹, 10.4·10⁹ и 11.4·10⁹ за 1 M☉. — Диаграма на Херцшпрунг-Ръсел с еволюционни трекове на звезди с различни маси. По хоризонталната ос е нанесена температурата на звездите, а по вертикалната ос – тяхната светимост в единици слънчеви светимости.

В приложението след условията на задачите е дадена диаграма на Херцшпрунг-Ръсел с еволюционни трекове на звезди с различни маси (от 0.5 до 15 слънчеви маси). Близо до всяка означена точка е дадена възрастта на звездата в години, при която тя минава през тази точка,. Приемете, че между всеки две съседни обозначени точки звездите се движат равномерно по така нарисуваните трекове.

А) Наблюдаваме с просто око звезда с 15 слънчеви маси. Тя изглежда синьо-бяла (спектрален клас B) и на възраст 11.1 милиона години. Каква е температурата на звездата, както я виждаме? Каква е минималната възможна действителна температура на звездата в същия този момент? [3 т.]

Б) Представете си звезда с маса 15 слънчеви маси, която всъщност в момента е оранжева (спектрален клас K), въпреки че ние я наблюдаваме с телескоп синьо-бяла (спектрален клас B). Покажете, че не е възможно тази звезда да е в Млечния път. В кои галактики може да бъде тя (избройте две възможни галактики)? [3 т.]

В) Звездата Каф (β Cas) има фотосферна температура 7080 K и радиус 3.5 слънчеви радиуса. Определете масата на Каф в слънчеви маси. Оценете възрастта на Каф. [4 т.]

Г) Пресметнете приблизително скоростта на разширение, която ще достигне повърхността на Слънцето при превръщането му в червен гигант след около 6 милиарда години. [3 т.]

Отговори

Решение

Решение (13 т.):

Диаграмата използва логаритмична скала и по двете оси. Оразмеряваме двете логаритмични скали като използваме:

y = \lg(L/L_S)

x = \log_{2.5}(T/10000\text{K}) = \frac{\lg\,(T/10000\text{K})}{\lg(2.5)} = \frac{\lg\,(T/10000\text{K})}{0.39794}

Тогава отбелязаните стойности по y-оста стават -2, 0, 2, 4 (от долу нагоре), а по x-оста: -1, 0, 1 (от дясно наляво). Между тях можем да интерполираме (x,y) координати по диаграмата линейно и после да превръщаме стойностите обратно в светимост и температура, използвайки:

\frac{L}{L_S} = 10^{y}

T[\text{K}] = 10000\times10^{0.39794x} = 10^{0.39794x+4}

А) Звезда с 15 слънчеви маси и на възраст 11.1 милиона години е на координати (x,y) = (0.34, 0.98), т.е. има T = 13650 K, L = 95500 $L_S$ . Приемаме, че при максимална отдалеченост на звездата тя ще е от видима звездна величина 6.0. Абсолютната звездна величина оценяваме по закона на Погсън, сравнявайки с абсолютната звездна величина на Слънцето, +4.75:

M = 4.75 - 2.5\lg\left(\frac{L}{L_S}\right) = -7.70

Разстоянието, на която такава звезда ще има видима звездна величина m=6.0, намираме от:

m - M = 5\lg(r[\text{pc}]) - 5

Получаваме r = 5500 pc = 17900 ly, тоест звездата в момента е около 18 000 години по-възрастна. Интерполираме линейно между точките с възраст 11.1 и 11.9 Myr и получаваме отместване по x с 0.010, т.е. новата стойност на x ще бъде 0.34-0.01=0.33 и действителната температура на звездата ще бъде T = 13530 K, т.е. съвсем малко по-ниска.

При това решение пренебрегваме болометричната корекция. (3т.)

Б) Най-далечният край на диска на Млечния път е на разстояние около 120 000 ly, което светлината изминава за $0.012\times10^{7}$ yr. Спектрален клас K достига температура до около 5000 K, което съответства на възраст 12.0 Myr за 15 слънчеви маси. Спектрален клас B достига температура около 10 000 K (за свръхгиганти), която еволюционният трек за 15 слънчеви маси достига при възраст 11.7 Myr. Тоест, звезда с маса 15 слънчеви ще бъде спектрален клас K0 най-рано 300 000 години след като е била спектрален клас B9. Следователно, такава звезда, която наблюдаваме като B9, а в момента е K0, трябва да е на разстояние минимум 300 000 ly и не може да бъде в Млечния път.

Звездата може да бъде на разстояние 2-3 Mly, тъй като времето от излизането от Главната последователност до най-дясната дадена точка по трека е около 2-3 Mly. Следователно, звездата може да бъде в галактиките M31 и M33. Тъй като 15 слънчеви маси на Главната последователност са между класове O9 и B0, звездата може да бъде на разстояние до 12 Mly, т.е. и в близка галактика извън Местната група. (3т.)

В) По закона на Стефан-Болцман определяме светимостта на Каф:

\frac{L}{L_S} = \left(\frac{R}{R_S}\right)^{2}\left(\frac{T}{T_S}\right)^{4} = 27.7

Логаритмуваме и намираме (x,y) положението на Каф по диаграмата:

(x,y) = (-0.38,\ 1.44)

Поставяме Каф на диаграмата. Ако интерполираме масата по най-малките разстояние до трековете 1.5 и 3 $M_S$ , получаваме маса 1.95 $M_S$ . Ако нарисуваме еволюционния трек и интерполираме масата по точката на отклонение от Главната последователност, получаваме 1.85 $M_S$ . В професионалната литература масата на Каф е оценена на 1.91±0.02 $M_S$ .

Добра оценка за възрастта може да се получи, ако интерполираме линейно логаритъм от възрастта между трековете за 1.5 и 3 $M_S$ . За точките в основата на изкачването към червен гигант $\lg(t)$ е съответно 9.3 и 8.4. Линейна интерполация по графиката дава lg(t)=9.075 и възраст t = 1.2 Gyr. Професионалната литература дава стойности 1.1-1.2 Gyr. (4т.)

Същата диаграма Херцшпрунг-Ръсел с еволюционни трекове, върху която са начертани хоризонтална линия при светимост около 28 слънчеви светимости и вертикална линия при температура около 7100 K; тяхната пресечна точка отбелязва положението на Каф между трековете за 1.5 и 3 слънчеви маси. — Диаграмата на Херцшпрунг-Ръсел с построенията към решението: положението на Каф (пресечната точка на нанесените линии) и определянето на масата и възрастта ѝ.

Г) След време от 6 Gyr Слънцето ще бъде на възраст 4.6 + 6 = 10.6 Gyr. Използваме еволюционния трек за 1 слънчева маса между точките на възраст 10.4 и 11.4 Gyr. Те са на координати съответно (-0.67, 0.57) и (-1.00, 2.69).

На възраст 10.4 Gyr параметрите на Слънцето ще бъдат $T_1$ = 5410 K, $L_1$ = 3.7 $L_S$ .

На възраст 11.4 Gyr параметрите на Слънцето ще бъдат $T_2$ = 4000 K, $L_2$ = 490 $L_S$ .

По закона на Стефан-Болцман пресмятаме радиуси $R_1$ = 2.2 $R_S$ , $R_2$ = 46.1 $R_S$ . При линейна интерполация между двете можем да оценим съвсем грубо:

v = \frac{(R2 - R1)}{1\text{Gyr}} = 30\ \text{m/yr}

Това е средната скорост за целия интервал от 1 милиард години, но максималната скорост ще бъде по-висока. Приемайки, че Слънцето се движи равномерно по трека, можем да оценим скоростта на разширение на обвивката на възраст 11.4 Gyr. Темпът на промяна на y-координатата по диаграмата за тази част от трека ще бъде:

\frac{dy}{dt} = 2.12\ \text{Gyr}^{-1}

Заместваме y със светимостта и:

\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{d(L/LS)}\frac{d(L/LS)}{dt} = 2.12\ \text{Gyr}^{-1}

y = \lg\left(\frac{L}{L_S}\right) = \ln\left(\frac{L}{L_S}\right)/\ln(10)

\frac{dy}{d(L/L_S)} = \frac{1}{(L/L_S)\ln(10)}

\frac{dy}{dt} = \frac{1}{(L/L_S)\ln(10)}\frac{d(L/L_S)}{dt} = 2.12\ \text{Gyr}^{-1}

\frac{d(L/L_S)}{dt} = 2.12\ \text{Gyr}^{-1}(L/L_S)\ln(10) = 2400\ \text{Gyr}^{-1}

Ако фиксираме температурата на 4000 K и диференцираме закона на Стефан-Болцман:

\frac{d(L/L_S)}{d(R/R_S)} = 2\left(\frac{T}{T_S}\right)^{4}\left(\frac{R}{R_S}\right)

\frac{d(L/L_S)}{dt} = 2\left(\frac{T}{T_S}\right)^{4}\left(\frac{R}{R_S}\right)\frac{d(R/R_S)}{dt}

\frac{d(R/R_S)}{dt} = \frac{1}{2\left(\frac{T}{T_S}\right)^{4}\left(\frac{R}{R_S}\right)}\frac{d(L/L_S)}{dt} = 112\ \text{Gyr}^{-1}

\frac{d(R/R_S)}{dt} = 80\ \text{m/yr}

Подобна оценка може да бъде извършена и числено с линейна интерполация между две точки нагоре по трека.

Отчитайки и охлаждането, можем да оценим скорост от порядъка на 100 m/yr или около 3μm/s. Забележете, че получената стойност е на много порядъци по-ниска от скоростта на разширение на планетарните мъглявини ( $\sim10^{1}$ km/s). Планетарната мъглявина не се формира веднага след фазата на червен гигант, а много по-късно – след фазата на AGB звезда (звезда от асимптотичния клон на гигантите). Тоест, след фазата на червен гигант повърхността на Слънцето ще достига много по-високи скорости на разширение. (3т.)

Оригинал в Архива: 22-III-1112-teor.pdf · официални решения: a22-III-1112-teor.pdf