Съдържание

НОА 2022, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 4. Бели джуджета

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2022

XXIV Национална олимпиада по астрономия 2022, III кръг, ученици от 11-12 клас · 7 май 2022 г. · 12 т.

Условие

Крайно нетърпелив астроном от град Бургас обича да изучава само космически обекти, при които се наблюдават възможно най-бързи промени. Любим предмет на неговите изследвания е двойната система ZTF J153932.16+502738.8, състояща се от две бели джуджета. Те се движат около общия си център на масите с рекордно краткия период от 6.91 минути. Орбиталната равнина на системата сключва ъгъл само 5.85° със зрителния лъч от Земята и системата се наблюдава като затъмнително двойна звезда. Ето някои данни за компонентите:

	Маса (в слънчеви маси)	Радиус (в слънчеви радиуси)	Температура
Компонента 1	0.610	$1.562\times10^{-2}$	48 900 K
Компонента 2	0.210	$3.140\times10^{-2}$	---

Температурата на втората компонента не е определена точно. Известно е само, че тя е много по-хладна от първата компонента.

Справочни данни:

Радиус на Слънцето 696 000 km.

Температура на Слънцето 5772 K

Астрономическа единица 1 au = $149.6\times10^{6}$ km

Приемете, че Земята е кълбо с радиус – 6371 km

Маса на Земята – $6\times10^{24}$ kg

Гравитационна константа $6.67\times10^{-11}$ m $^{3}$ /kg.s $^{2}$

Абсолютна звездна величина на Слънцето $4.74^{m}$

Две графики една под друга. Горната, озаглавена „Главна компонента“, показва лъчева скорост в km/s (ос от около −700 до +600) срещу фаза от 0 до 0.9; точките с грешки следват синя пунктирана синусоида с минимум около фаза 0.25 и максимум около фаза 0.72, с амплитуда около 260 km/s. Долната, озаглавена „Вторична компонента“, показва същите оси; точките следват червена пунктирана синусоида с максимум около фаза 0.25 и минимум около фаза 0.75, с амплитуда около 740 km/s. — Криви на лъчевите скорости на компонентите в системата ZTF J153932.16+502738.8.

Крива на блясъка, отпечатана завъртяна: нормализиран светлинен поток в относителни единици от 0 до 1 срещу фаза от −1 до 1. Два дълбоки главни минимума до почти 0 при фази −1, 0 и 1, между тях по-плитки вторични минимуми до около 0.6 при фази около ±0.5, а между минимумите потокът плавно нараства до около 1. — Крива на блясъка на затъмнително двойната система ZTF J153932.16+502738.8. (В оригинала фигурата е отпечатана завъртяна на 90°.)

А) В приложението след условията на задачите са ви дадени кривите на лъчевите скорости на звездите. Направете необходимите измервания по тях и определете разстоянието между двете компоненти. [3 т.]

Б) Използвайте данните от таблицата и определете дали от Земята се наблюдават пълни или частични затъмнения на двете компоненти. Обосновете вашето заключение чрез пресмятания и подходяща схема. [3 т.]

В) Дадена ви е също и крива на блясъка на системата. Като имате предвид параметрите на звездите, обяснете защо участъците от кривата, които са между главните и вторичните минимуми, не са хоризонтални. [2 т.]

Г) По кривата на блясъка бургаският астроном е определил отношението k на радиуса на първата компонента към радиуса на втората компонента. Като сравнил получения резултат с данните от таблицата, той бил твърде озадачен. Опитайте се и вие да повторите това изследване и дайте подходящо обяснение. Приемете, че малко преди вторичния минимум, когато до нас достига цялата светлина и от двете звезди, техният сумарен блясък се равнява на 1 в условните единици на дадената скала на светлинния поток. [4 т.]

Отговори

Решение

Решение (12т.):

А) Върху кривата на лъчевата скорост на главната компонента определяме мащаба по вертикалната ос – на 33.5 mm отговаря интервал от скорости 1000 km/s. Максималната лъчева скорост се равнява на линейната скорост $v_A$ на това бяло джудже. Измерваме двойната амплитуда на лъчевата скорост, която се оказва 17.5 mm. По-нататък получаваме:

v_A = \frac{1}{2}\cdot\frac{17.5\ \text{mm}}{33.5\ \text{mm}}\cdot1000\ \text{km/s}

v_A \approx 261.2\ \text{km/s}

По аналогичен начин за скоростта на вторичната компонента намираме:

v_B \approx 735.8\ \text{km/s}

Двете бели джуджета описват кръгови орбити около центъра на масите. Преминаваме в отправна система, неподвижно свързана с едното от тях, примерно с компонента 1. Другото бяло джудже ще се движи относно първото със скорост $v = v_A + v_B$ по кръгова орбита с радиус r, равен на разстоянието между двете компоненти. Ако означим орбиталния период на системата с T, можем да намерим това разстояние от равенството:

vT = 2\pi r

r = \frac{vT}{2\pi} \approx 65.8\times10^{3}\ \text{km}

Можем да вземем предвид и наклона на орбиталната равнина на двете бели джуджета към зрителния лъч от земния наблюдател и като умножим получената стойност на косинуса от този ъгъл, намираме още по-точна стойност:

r \approx 66.1\times10^{3}\ \text{km}

Б) Да означим с $R_A$ и $R_B$ радиусите на компонента 1 и компонента 2, а с $\varphi$ ъгъла между орбиталната равнина на белите джуджета и зрителния лъч към земния наблюдател.

Компонента 2 с радиус R_B (голям защрихован кръг) и компонента 1 с радиус R_A (малък кръг) на разстояние r една от друга; линията на центровете сключва малък ъгъл φ със зрителния лъч към земния наблюдател, а x е отместването на центъра на компонента 1 спрямо лъча. — Схема към задача 4 Б): взаимното разположение на двете компоненти и зрителният лъч към земния наблюдател.

Както се вижда от схемата, при главен минимум по-голямата компонента 2 ще закрива напълно по-малката компонента 1 при главен минимум, а при вторичен минимум по-малката компонента 1 ще се оказва изцяло проектирана в рамките на видимия диск на компонента 2, ако е изпълнено условието:

R_A + x < R_B

Да определим разстоянието $x$ :

x = r\sin\varphi

x \approx 6700\ \text{km}

От данните в таблицата и като използваме слънчевия диаметър в километри, получаваме:

R_A + x \approx 2.52\ \text{слънчеви радиуса}

Очевидно неравенството е изпълнено и затъмненията са пълни.

В) Вторичните минимуми се получават, когато по-ярката по блясък компонента закрива по-слабата. В случая е известно, че по-ярката компонента 1 е значително по-гореща от компонента 2. Освен това двете бели джуджета са на извънредно малко разстояние едно от друго. Това означава, че по-хладното бяло джудже се огрява силно от по-горещото. Страната на по-хладното бяло джудже, която е обърната към горещото бяло джудже, е с по-висока температура и по-мощно излъчване, отколкото обратната страна. Главният минимум в кривата на блясъка отразява момента, когато към нас е обърната по-хладната и по-слабо излъчваща страна на вторичната компонента. Веднага след него обаче, при орбиталното движение на вторичната компонента, към земния наблюдател се оказва обърната все по-голяма част от нейната огрята страна и видимият ѝ блясък нараства – получава се ефект, подобен на смяната на фазата, както при Венера, например.

Г) По условие, в относителните единици, нанесени по вертикалната ос на графиката, сумарният блясък на компонента 1 и на „горещата“ страна на компонента 2 съответства на 1. Следователно стойността по вертикалната ос, измерена за който и да е момент от наблюдението, представлява отношението на общия блясък на двете джуджета в съответното взаимно разположение спрямо нас, към сумарния блясък на компонента 1 и на „горещата“ страна на компонента 2, изцяло обърната към нас. Нека означим това отношение с $\eta$ и ще считаме, че именно то е нанесено по вертикалната ос на графиката.

Определяме мащаба на графиката и измерваме величината $\eta$ за две точки, отбелязани с 1 и 2 на графиката. Получаваме:

\eta_1 \approx 0.875

\eta_2 \approx 0.634

Кривата на блясъка на двойната система е построена въз основа на данни от наблюдения в специфичен спектрален диапазон, обусловен от използвания филтър. Ще разглеждаме белите джуджета като равномерно светещи дискове. Да означим с $I_A$ светлинния поток, създаван от единица площ от главната компонента 1, с $I_B{}'$ светлинния поток, създаван от единица площ от компонентата 2, когато тя е обърната към нас със своята „гореща“ страна (огрятата от другото бяло джудже) и с $I_B{}''$ светлинния поток, създаван от единица площ от компонентата 2, когато тя е обърната към нас с „хладната“ си страна. Можем да напишем следните съотношения:

\frac{\left(\pi R_B{}^{2} - \pi R_A{}^{2}\right)I_B{}' + \pi R_A{}^{2}I_A}{\pi R_A{}^{2}I_A + \pi R_B{}^{2}I_B{}'} = \eta_1

\frac{\pi R_A{}^{2}I_A + \pi R_B{}^{2}I_B{}''}{\pi R_A{}^{2}I_A + \pi R_B{}^{2}I_B{}'} = \eta_2

В условието е казано, че температурата на компонента 2 е значително по-ниска от тази на компонента 1. При главен минимум ние виждаме практически само светлина от хладната страна на компонента 2, изцяло закриваща по-ярката, но по-малка компонента 1. На графиката виждаме, че в такива моменти блясъкът на системата е съвсем незначителен. Следователно $I_B{}'' \ll I_A$ и можем да приемем приближението:

\eta_2 \approx \frac{\pi R_A{}^{2}I_A{}'}{\pi R_A{}^{2}I_A + \pi R_B{}^{2}I_B{}'}

От тези равенства получаваме:

\frac{\left(\frac{R_A{}^{2}}{R_B{}^{2}} - 1\right)\cdot\frac{I_B{}'}{I_A} + 1}{1 + \frac{R_A{}^{2}}{R_B{}^{2}}\cdot\frac{I_B{}'}{I_A}} = \eta_1

\frac{1}{1 + \frac{R_A{}^{2}}{R_B{}^{2}}\cdot\frac{I_B{}'}{I_A}} = \eta_2

За краткост нека въведем означенията:

x = \frac{I_B{}'}{I_A}

y = \frac{R_A{}^{2}}{R_B{}^{2}}

Тогава горните равенства придобиват вида:

\frac{(y - 1)x + 1}{1 + yx} = \eta_1

\frac{1}{1 + yx} = \eta_2

Изключваме от тях x и получаваме:

y = \frac{1 - \eta_2}{1 - \eta_1}

Търсената величина е:

k = \frac{R_A}{R_B} = \frac{1}{\sqrt{y}}

Заместваме числените стойности и получаваме:

k = \frac{R_A}{R_B} \approx 0.58

Даденото в таблицата отношение на радиусите на звездите е приблизително 0.5. Полученият от нас резултат означава, че ние леко надценяваме радиуса на по-малкото горещо бяло джудже при вторичния минимум. Обяснението може да се търси в това, че тогава по-малкото бяло джудже не закрива по-голяма площ от хладното бяло джудже, а закрива централната най-силно нагрята част от страната на хладното джудже, която е обърната към горещото джудже.

Критерии за оценяване (общо 12 т.):

А) За правилен метод за определяне на разстоянието – 1 т.

За измервания и изчисления – 1 т.

За краен числен резултат – 1 .

Б) За правилен теоретичен подход – 1.5 т.

За числени пресмятания и правилен извод – 1.5 т.

В) За правилно обяснение на вида на кривата – 2 т.

Г) За правилен теоретичен подход – 2 т.

За измервания и изчисления – 1 т.

За краен резултат и обяснение на несъответствието с табличните данни – 1 т.

Крива на блясъка: нормализиран светлинен поток от 0 до 1 срещу фаза от −1 до 1; два дълбоки главни минимума при фази −1, 0 и 1 и по-плитки вторични минимуми около ±0.5. С удебелено 1 е отбелязана точка при поток около 0.875 близо до вторичния минимум, а с 2 – точка при поток около 0.634 малко преди главния минимум. — Кривата на блясъка с отбелязани точки 1 и 2, използвани за измерване на величината $\eta$ .

Оригинал в Архива: 22-III-1112-teor.pdf · официални решения: a22-III-1112-teor.pdf