НОА 2022, III кръг (национален), 7–8 клас — Задача 2. Лунно затъмнение

• А) Не. По българско време затъмнението е протекло между 14h57m35s и 18h53m35s, а в средата на юли Слънцето залязва около 21 ч.; Луната (в пълнолуние) изгрява при залез Слънце, така че никаква част от затъмнението не е била видима от България.

• Б) $\varphi = -21^{\mathrm{o}}13'25'',\quad \lambda = 151^{\mathrm{o}}06'15''\ \mathrm{E}$

  Точката е в Тихия океан, източно от австралийския щат Куинсленд.

• В) Осмокласникът: -21º13′25″ < φ < 68º46′35″. Седмокласникът: φ < -21º13′25″ (южно от този паралел, чак до Южния полюс). Шестокласникът: φ < -68º46′35″ – около Южния полюс Луната е незалязващо светило и той също може да я вижда.

• Г) $d = \frac{t}{T_{SYN}}\,2\pi r \approx 9\,700\ \mathrm{km}$

  t = 2h51m12s – времето между първия контакт със сянката и началото на излизането от нея.

Решение:

А) На 16-ти юли в България се използва лятно часово време. Това означава, че за да получим в характерните моменти на затъмнението в местното за нашата страна време, трябва да добавим 3 часа към часовете по универсално време (UT).

От дадените ни часове се вижда, че първият контакт със сянката е бил в 11h57m35s по универсално време, а последният контакт в 15h53m35s по UT. Тези моменти съответстват на 14h57m35s и 18h53m35s по българско време.

По време на лунно затъмнение, Луната е във фаза Пълнолуние, поради което тя се намира на $180^{\mathrm{o}}$ от Слънцето и изгрява в момента на слънчевия залез. През юли месец, обаче, Слънцето залязва значително след последния контакт между сянката на Земята и Луната. В средата на юли Слънцето залязва около 21ч. Това означава, че никаква част от затъмнението не е била видима за нашата страна.

Б) Деклинацията на Луната по време на затъмнението е била -21º13‘25“. Това означава, че точката, за която Луната е била в зенита има географска ширина φ=-21º13‘25“.

Понеже по време на лунно затъмнение, Луната се намира в противоположната точка по небето, спрямо Слънцето, то тя ще е в горна кулминация в момент на местна полунощ. Максималната фаза на затъмнението е настъпила в 13h55m35s UT. Това означава, че това е часът по местно време за Гринуичкия меридиан. Следователно, местното време ще е бъде 0h0h0s за меридиан, който е 10h4m25s източно от Гринуич. Превръщайки в градуси получаваме, че географската дължина на този меридиан е 151º6‘15“. Мястото с намерените координати е разположено в Тихия океан, западно от континента Австралия, близо до щата Куинсленд.

В) При положение, че приемаме разстоянието до Луната за безкрайно голямо, то следва, че тя се вижда от половината площ на Земята. С други думи, ако Луната е на хоризонта за даден наблюдател, то тя е на хоризонта и за неговия срещуположен.

За да се вижда Луната на юг, то наблюдателят трябва да се в място, чиято географска ширина е по-голяма от лунната деклинация. Следователно, осмокласникът трябва да има ширина, която отговаря на следното условие: φ>-21º13‘25“. От друга страна, обаче, Луната не трябва да е неизгряващо светило за него. Следователно, той трябва да има географска ширина, която отговаря на следното условие: φ<90-|δ|<68º46’35”.

Седмокласникът, който вижда Луната в горна кулминация на север би следвало да се намира на юг от паралела с географска ширина φ=-21º13‘25“. Всъщност, той би могъл да бъде във всяка точка от този паралел, чак от Южния полюс.

Шестокласникът, който явно поради неопитност е объркал правилния меридиан с неговия срещуположен, би могъл също да вижда Луната по време на затъмнението! За целта, той трябва да се намира в област около Южния полюс, в която Луната е незалязващо светило (когато Луната е в горна кулминация за неговите приятели, за него тя ще е в долна кулминация). Тъй като приемаме, че Луната е безкрайно далече, то той трябва да бъде на отстояние от полюса не по-голямо от |δ|. Следователно, неговата географска ширина трябва да отговаря на следното условие: φ<-90+|δ|<-68º46’35”.

Г) Луната изминава диаметъра на земната за интервала от време между първия контакт със сянката и момента, в който започне да излиза от нея. Продължителността му е t = 2h51m12s. Всъщност, можем да използваме и интервала от време между момента, в който Луната навлиза напълно в сянката и момента, в който напълно излиза нея, резултатът би бил същият.

Луната прави една обиколка по орбитата си около Земята за един сидеричен месец. Същевременно, обаче, земната сянка също се движи на фона на звездите, с ъглова скорост, която е равна на ъгловата скорост, с която Слънцето се движи по еклиптиката (или Земята по своята орбита). Тъй като двете движения са в една и съща посока, то можем да заключим, че ъгловата скорост на Луната, относно сянката е равна на тази, която Луната има относно Слънцето. Това означава, че периодът, за който Луната прави една обиколка по орбитата си относно сянката на Земята е равен на периода, през който се сменят лунните фази, а именно синодичният период $T_{SYN}$.

От тук следва, че ако r е разстоянието между Земята и Луната, то дължината диаметър на сянката, през който Луната премината е:

Критерии за оценка:

А) – 2т.

За съобразяване на характерните моменти на затъмнението по местно време за България – 1т.

За съобразяване, че затъмнението няма да се вижда в България – 1т.

Б) – 3т.

За съобразяване на географската ширина на мястото, където Луната е била в зенита – 1т.

За съобразяване, че там трябва да е местна полунощ, правилен метод за намиране на географската дължина и правилен отговор – 2т.

Съображението за това къде по земното кълбо се намира точката, за която Луната е в зенита не се изисква от учениците.

В) – 4т.

За правилен метод за намиране на диапазоните, в които трябва да са географските ширини на осмокласника и седмокласника и верни числени – за всеки по 1т.

За съобразяване на факта, че шестокласникът все пак има възможност да вижда Луната, правилен метод за намиране на диапазона от географски ширини – 2т.

Г) – 4т.

За правилно съобразяване на интервала от време, който трябва да се използва и вярна числена стойност – 1т.

За правилно съображение кой от лунните месеци следва да се използва - 2т.

За правилни математически съображения (може и различни от авторските) за намиране на диаметъра от сянката и верен числен резултат – 1т.