НОА 2022, III кръг (национален), 7–8 клас — Задача 1. Геосинхронен спътник

• А) 1 точка

  Точката от земния екватор, над която прелита спътникът, е само една.

• Б) $t = 23^h56^m/4 \approx 5^h59^m$

  Двете точки отстоят на 90° по географска дължина.

• В) $\lambda = 1^h50^m - 5^h39^m = -3^h49^m = 3^h49^m\ \mathrm{W}$ ≈ $3.817$ h W

Решение (13т.):

На схемата е изобразена Земята с орбитата на спътника.

Нека в първия момент корабът-спътник се намира в точка Sa от своята орбита, над точка A от земния екватор. След като направи половин орбитална обиколка, спътникът ще бъде в точка Sa′. Това ще се случи след време, равно на половината от орбиталния период на спътника, който пък е равен на периода на околоосно въртене на Земята. Следователно за същото време точка A от земната повърхност ще се завърти заедно със земното кълбо и ще се окаже в положение A′ – т.е. спътникът ще прелети отново над същата точка от екватора. Това ще се повтаря винаги след всяка половина от орбиталния период на спътника. Така стигаме до извода, че точката от земния екватор, над която прелита спътникът, е само една.

Нека сега спътникът да се намира над точка B, на 45° северна ширина (в положение Sb) и да лети в посока север. Докато достигне отново 45-градусовия паралел на Земята, спътникът ще измине 45° + 45° = 90°, или една четвърт от своята обиколка и ще се окаже в положение Sb′. Орбиталният период на спътника е равен на периода на въртене на Земята около нейната ос, или $23^h56^m$. Спътникът ще прелети разстоянието от точка Sb до точка Sb′ за време $t = 23^h56^m/4 \approx 5^h59^m$. За това време обаче, точка B ще се завърти също на 90° заедно със Земята и ще се окаже в положение B′. А спътникът ще бъде над точка B″, която е на 90° разстояние по географска дължина от първата точка, над която е прелетял спътникът.

От момента, в който корабът-спътник прелита над Бургас (положение Sc над точка C от земната повърхност), до момента, когато той се оказва в положение Sc′ над точка C′, корабът ще е изминал по своята орбита ъгъл 2φ = 85°. Това ще стане за време:

През това време Земята ще се е завъртяла около своята ос на също такъв ъгъл, в посока изток, както е известно. Следователно точката C′, над която ще се окаже корабът, ще бъде на $5^h39^m$ западно по географска дължина от Бургас. Понеже Бургас има $1^h50^m$ източна дължина, точката C′ ще бъде на запад от Гринуичкия меридиан. Нейната географска дължина ще бъде:

Критерии за оценяване (общо 13 т.):

А) За правилни разсъждения и обяснения – 3 т.

За правилен краен извод – 1 т.

Б) За правилни разсъждения и обяснения – 3 т.

За пресмятания и верен краен резултат – 2 т.

В) За правилни разсъждения и обяснения – 2 т.

За пресмятания и верен краен резултат – 2 т.

Забележка: Ако при пресмятанията в подусловия Б) и В) участникът е използвал слънчевото денонощие вместо звездното, оценката да се намали с 1 т. (не за всяко подусловие по 1 т., а 1 т. общо за двете подусловия).