НОА 2022, III кръг (национален), 7–8 клас — Задача 4. Нощ над Еренбург

• А) 1 h

  Измереният ъгъл между лъчите е 14–15°, т.е. около 55–60 минути.

• Б) Кохаб е втората по яркост звезда от съзвездието Малка мечка; Мицар е средната звезда от опашката на Голямата мечка – нейният трек започва извън кадъра, но по-голямата част от него се вижда върху изображението, вляво, в долната половина на снимката. Вижте приложението към решенията.

• В) $s = \alpha_{\text{гк}} = \alpha_{\text{дк}} + 12^h = 22^h29^m$

• Г) $h_{mm} = \frac{\varphi}{\Delta\gamma}\cdot x = 208\ \mathrm{mm}$

Решение (12т.): За едно денонощие звездите правят един оборот около Северния небесен полюс. Следователно за 1 час звездно време те ще се преместят относно полюса на ъгъл равен на 15°. Може да предположим къде е Северният небесен полюс като използваме разположението на дъгите на звездите, които са близко до полюса, както и много късата дъга на Полярната звезда. Предвид неголемият ъгъл на дъгите и големите ъглови разстояния по снимката може да използваме за полюс и самата Полярна звезда. Построяваме лъчи с начало в Северния небесен полюс, примерно в Полярната звезда, които да пресичат началото и края на една, две или три от дъгите, които звездите са оставили върху снимката. Измерваме ъгъла между така построените лъчи и получаваме ъгъл в границите на 14 - 15 градуса. Следователно продължителността на експонацията е била около 55-60 минути, т.е. около 1 час.

Лесно се разпознават конфигурациите на двете най-известни съзвездия – Голямата мечка и Малката мечка. Кохаб е втората по яркост звезда от съзвездието Малка мечка. Мицар е средната звезда от опашката на Голямата мечка. Нейният трек започва извън кадъра, но по-голямата част от него се вижда върху изображението, вляво, в долната половина на снимката.

Звездното време обикновено се определя като часовият ъгъл на пролетната равноденствена точка. Часовият ъгъл се отчита по небесния екватор от пресечната му точка с меридиана на мястото, т.е. от посоката юг, на запад, в посока противоположна на нарастването на ректасцензията. Ректасцензията е равна на 0h в пролетната равноденствена точка и расте до 24h, в посока на изток от нея. Лесно се съобразява, че когато пролетната равноденствена точка е точно на юг, звездното време е 0h. С напредване на времето, поради въртенето на Земята, пролетната равноденствена точка се придвижва на запад. Нейният часови ъгъл нараства, а с него расте и звездното време. Лесно се съобразява, че ако разглеждаме скалата на ректасцензията върху небесния екватор като циферблат, то меридианът на мястото, в посока юг, може да се разглежда като стрелка, която отчита звездното време по „циферблата“. Особеното тук е, че за наблюдател на земната повърхност, „стрелката“ е неподвижна, а „циферблатът“ се върти, като прави един оборот за едно звездно денонощие, т.е. за един оборот на Земята около оста ѝ относно звездите (а не относно Слънцето).

Нека определим звездното време в началото на експонацията на снимката. Когато гледаме към Северния небесен полюс звездите се въртят около него в посока обратна на часовниковата стрелка. Следователно на началото на експонацията отговаря левият край на трековете на звездите, които в момента преминават под полюса. Спускаме вертикална лининия от полюса и измерваме ъгъла на който е отместено наляво началото на трека на Дубхе. Този ъгъл е равен на 8.7°. Превръщаме този ъгъл във време и виждаме, че в началото на експонацията Дубхе се е намирала на $0^h34^m48^s$ преди долна кулминация. Следователно в долна кулминация е била точка с ректасцензия $\alpha_{\text{дк}} = \alpha - 0^h34^m48^s = 10^h29^m$. Тогава в горна кулминация, на юг, е била точка с координати:

Това е и звездното време s в началото на експонацията.

Местното слънчево време зависи от положението на Слънцето относно меридиана на мястото. Нека определим приблизителните координати на Слънцето. Снимката е направена на 8 септември 2001 година. Есенното равноденствие е настъпило на 23 септември, т.е. 15 дни по-късно. За целта трябва да определим средно на какъв ъгъл се премества Слънцето през годината за 1 ден, да го умножим по 15 и да извадим получената стойност от ректасцензията на Слънцето по време на есенното равноденствие, която е равна на $12^h$ :

Виждаме, че ректасцензията на Слънцето се отличава от ректасцензията на Дубхе само с 3 часови минути. Дубхе се е намирала на $0^h34^m48^s$ преди долна кулминация. Следователно Слънцето се е намирало на около 31 минути преди долна кулминация или местното слънчево време е било $23^h29^m$, около половин час преди полунощ.

Височината на полюса над математическия хоризонт е равна на географската ширина φ на мястото. Следователно математическия хоризонт е на 49°43′ под Северния небесен полюс. Измерваме с линия разстоянието от полюса до трека на Дубхе и получаваме, че то е равно на x = 118 mm. Това разстояние съответства на ъгловото разстояние от Дубхе до полюса $\Delta\gamma = 90° - \delta = 28°16'$. Тогава разстоянието от полюса до математическия хоризонт в милиметри, в мащаба на изображението е равно на:

По вертикална линия нанасяме това разстояние, тръгвайки от Северния небесен полюс. Построяваме перпердикулярна линия към нея и получаваме схематично изображение на математическия хоризонт.(Виж приложението към решенията).”

Критерии за оценяване (общо 12 т.):

А) За правилен метод при определяне на продължителността на експонацията – 1 т.

За правилен краен резултат – 1 т.

Б) За правилно отбелязване на трековете – 2 т.

В) За правилно разсъждения при определянето на звездното време – 2 т.

За верен краен резултат – 1 т.

За правилни разсъждения при определянето на местното слънчево време – 2т.

За правдоподобен краен резултат – 1т.

Г) За правилни разсъждения относно връзката на географската ширина и взаимното разположение на небесния полюс и математическия хоризонт – 1т.

За правилно построяване на математическия хоризонт – 1т.