Съдържание

НОА 2022, IV кръг, Младша възраст — Задача 2. Екзопланета около звездата HD 209458

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2022

XXV Национална олимпиада по астрономия, IV кръг, 14 юли 2022 г., Варна, практически тур, Младша възраст · 14 юли 2022 г. · 15 т.

Условие

Един от основните методи за откриване на извънслънчеви планети е чрез ефекта на Доплер. Поради гравитацията на планетата, звездата извършва периодично движение около общия център на масите в системата звезда-планета. По тази причина, звездата се приближава и отдалечава от нас и ние наблюдаваме периодично изместване на линиите в нейния спектър към по-къси и към по-дълги дължини на вълната.

Друг основен метод, по който астрономите откриват планети, намиращи се извън Слънчевата система, е транзитният метод. Той се основава на това, че когато една планета преминава пред диска на своята звезда, тя предизвиква леко понижаване на нейния блясък. Измервайки относителната промяна в блясъка на звездата, ние можем да пресметнем колко пъти нейният радиус е по-голям от този на планетата.

В тази задача, ще изследваме планета, открита около звездата HD 209458 (известна също като V376 Pegasi), чрез двата метода. Звездата е от спектрален клас G0V, има маса 1.15 пъти по-голяма от тази на Слънцето, радиус 1.2 пъти по-голям от слънчевия и температура на повърхността 6070 K. Планетата, която ще изследваме, обикаля около нея с период P = 3.5d.

На фиг. 1 е дадена крива, показваща изменението на лъчевата скорост на звездата с времето, дадено в единици равнин на орбиталния период на планетата (фаза).

Крива на лъчевата скорост на HD 209458 b: Radial Velocity (m/s) от −200 до 200 спрямо Phase от −0.2 до 1.2; точки с грешки и пунктирна синусоида с минимум около фаза 0.25 (≈ −80 m/s) и максимум около фаза 0.75 (≈ +80 m/s); надписи „HD 209458 b“, „P = 3.5 d“ и „exoplanets.org“. — Фиг. 1

На Фиг. 2 е показана крива на блясъка на звездата, получена по време на пасаж на планетата пред диска на звездата. Обърнете внимание, че яркостта на звездата НЕ е дадена в звездни величини, а в единици относителен интензитет. Когато планетата не е пред звездата, той се приема за равен на 1. Също така, по хоризонталната ос е нанесено времето в часове след централния момент на пасажа (съответно, стойностите преди този момент са отрицателни).

Крива на блясъка „A Light Curve for V376 Pegasi“: Relative Flux от 0.983 до 1.001 спрямо Time from Center of Transit (hours) от −3 до 3; извън пасажа потокът е 1, спада рязко между около −1.5 и −1 h и се възстановява между 1 и 1.6 h, с минимум около 0.9835 в центъра. — Фиг. 2

Като използвате данните от предоставените фигури определете:

- Радиуса на екзопланетата $R_p$ ; [4 т.]

- Масата на екзопланетата $M_p$ ; [4 т.]

- Плътността на планетата $\rho_P$ . Какъв вид планета е тя? [2 т.]

- Плътността на звездата HD 209458 $\rho_S$ . [4 т.]

- Пресметнете плътността на звездата и по дадените маса и радиус. Сравнете резултатите. [1 т.]

Приемете, че планетата се движи по кръгова орбита и за земния наблюдател преминава централно през диска на звездата.

Справочни данни:

Гравитационна константа: $\gamma = 6{,}67.10^{-11}\ \mathrm{kg^{-1}m^{3}s^{-2}}$

Маса на Слънцето: $2.10^{30}\ \mathrm{kg}$

Радиус на Слънцето: 700 000 km.

Отговори

Решение

За да определим радиуса на планетата, използваме Фиг. 2. Означаваме с $R_0$ и $R_p$ съответно радиусите на звездата и на планетата. Приемаме, че осветеността $E_0$ , която звездата създава за нас, е пропорционална на площта на видимия диск на звездата. При пасаж на планетата от видимия диск на звездата е закрита площ, равна на площта на видимия диск на планетата. Осветеността в този случай означаваме с $E$ . Фактически по вертикалната ос на диаграмата на Фиг. 2 е нанесена величина, равна на отношението $E / E_0$ . Като я измерим по графиката, за нея можем да напишем:

\frac{E}{E_0} = 0.9835 = \frac{\pi {R_0}^2 - \pi {R_p}^2}{\pi {R_0}^2}

Оттук получаваме:

\frac{R_p}{R_0} = \sqrt{1 - 0.9835} \approx 0.129

R_p \approx 0.154\ \text{слънчеви радиуса} \approx 107\,900\ \mathrm{km}

За да намерим масата на планетата, първо трябва да определим радиуса на орбитата на звездата около общия център на масите в системата звезда-планета. Използваме Фиг. 1. Определяме мащаба по скалата на скоростта и измерваме разликата между максималната и минималната лъчева скорост. Половината от тази разлика ще се равнява на орбиталната скорост на звездата около центъра на скоростта. За нея получаваме $v_0 \approx 81.0\ \mathrm{m/s}$ .

Като знаем тази скорост и орбиталния период $T$ , можем да определим радиуса $r_0$ на орбитата на звездата около центъра на масите на звездата и планетата:

v_0 T = 2\pi r_0

r_0 = \frac{v_0 T}{2\pi} \approx 3.898 \times 10^3\ \mathrm{km}

Разстоянието $r_p$ от планетата до центъра на масите определяме чрез третия закон на Кеплер:

\frac{(r_0 + r_p)^3}{T^2} = \frac{G(M_0 + M_p)}{4\pi^2}

В сила е и съотношението:

M_0 r_0 = M_p r_p

където $M_0$ и $M_p$ са масите на звездата и планетата.

Тези две уравнения по принцип ни дават възможност да намерим масата на планетата и нейното разстояние до центъра на масите. Решаването им обаче, е проблематично, тъй като се стига до уравнение от трета степен при намирането на едното неизвестно. Но тъй като $M_p \ll M_0$ , то очевидно $r_0 \ll r_p$ и можем да използваме приблизителната формула:

\frac{{r_p}^3}{T^2} = \frac{GM_0}{4\pi^2}

Оттук намираме:

r_p = \sqrt[3]{\frac{GM_0 T^2}{4\pi^2}} \approx 7.083 \times 10^6\ \mathrm{km}

Накрая за масата на планетата получаваме:

M_p = M_0 \cdot \frac{r_0}{r_p} \approx 0.00063\ \text{сл. маси} \approx 1.2 \times 10^{27}\ \mathrm{kg}

За плътността на планетата можем да напишем:

\rho_p = \frac{M_p}{\frac{4}{3}\pi {R_p}^3} \approx 228\ \mathrm{kg/m^3}

Масата на планетата се оказва около 0.6 маси на Юпитер, а нейният радиус е с около една трета по-голям от радиуса на Юпитер. Тя се намира на изключително близко разстояние до своята звезда. Средната $\backslash$ плътност е съществено по-ниска от плътността на водата. Всички тези данни показват, че планетата е от типа на „горещите юпитери“ – газов гигант, чиято атмосфера е раздута и силно нагрята от звездата.

Плътността на звездата можем да изчислим от данните в условието на задачата за нейната маса и нейния радиус:

\rho_0 = \frac{M_0}{\frac{4}{3}\pi {R_0}^3} \approx 926\ \mathrm{kg/m^3}

Но ние можем да оценим радиуса на звездата и по графиката на Фиг. 2. Измерваме продължителността на пасажа от началния момент на понижаване на блясъка до крайния момент на възстановяване на първоначалния блясък. Тя се оказва равна на 3.2 часа или приблизително 11500 секунди. Означаваме този интервал от време с $\Delta t$ . Той включва в себе си и интервалите, когато видимият диск на планетата е само частично навлязъл пред диска на звездата в началото и в края на пасажа. За това време планетата изминава по орбитата си дъга, чиято дължина можем да пресметнем:

s = v' \Delta t

Тук v’ е скоростта на планетата относно звездата и е сума от скоростта на планетата $v_p$ и скоростта на звездата относно центъра на масите. Поради твърде малката маса на планетата в сравнение с тази на звездата, можем да пресметнем приблизително:

v' \approx v_p = v_0 \cdot \frac{r_p}{r_0}

Оттук получаваме:

s \approx 1{,}699 \times 10^6\ \mathrm{km}

Схема: голяма окръжност (орбитата на планетата) с малка окръжност „Звезда“ с радиус R0 в центъра; два радиуса r0 + rp сключват ъгъл α към двете положения на планетата (малки кръгчета, „Планета“) в началото и в края на пасажа; дъгата между тях е s, а отсечката R0+Rp е означена; вертикални линии допират диска на звездата.

Това ни позволява да намерим ъгъла $\alpha$ :

\alpha = \frac{s}{2(r_0 + r_p)} \cdot \frac{180^{\circ}}{\pi} \approx 6.87^{\circ}

Тогава, както се вижда от схемата:

R_0 + R_p = (r_0 + r_p) \sin\alpha

R_0 = (r_0 + r_p) \sin\alpha - R_p \approx 844\,000\ \mathrm{km}

Плътността на звездата ще бъде:

\rho \approx 914\ \mathrm{kg/m^3}

Получаваме близка, по-ниска стойност за плътността на звездата.

Критерии за оценяване (общо 15 т.):

За определяне на радиуса на екзопланетата – 4 т.

За определяне на масата на екзопланетата – 4 т.

За пресмятане на плътността на планетата – 1 т.

За описание на вида на планетата – 1 т.

За пресмятане на плътността на звездата въз основа на измервания по графиката – 4 т.

За пресмятане на плътността на звездата по готовите данни и сравнение на резултатите – 1 т.

Оригинал в Архива: 22-IV-praktML.pdf · официални решения: a22-IV-praktML.docx