НОА 2023, II кръг (областен), 11–12 клас — Задача 5. Опашка на Райли-Джинс

XXVI Национална олимпиада по астрономия 2023, областен кръг, възрастова група XI-XII клас · 17 февруари 2023 г. · 12 т.

Условие

5 задача. Опашка на Райли-Джинс. Топлинното излъчване се описва от закона на Планк, но само в червения край на спектъра може да се използва и по-простото приближение на Райли-Джинс:

$I(\lambda) = \frac{2ck_BT}{\lambda^4}$

В тази формула $I(\lambda)$ е специфичният интензитет (мощността на излъчване на тялото на единица дължина на вълната $\lambda$) и чрез него се описва спектърът на излъчването, а основен параметър е температурата на излъчващата повърхност T. Формулата е валидна само при $\lambda \gg \lambda\text{max}$, където $\lambda\text{max}$ е дължината на вълната, на която тялото излъчва най-силно според закона на Вин.

Цветовият индекс е разликата в звездните величини на един и същ обект при наблюдение в два различни филтъра. Например във филтрите B и V звездата Антарес има звездна величина съответно B = $2^m$.75 и V = $0^m$.91. В такъв случай цветовият индекс на Антарес е B – V = 2.75 – 0.91 = 1.84. По дефиниция всички цветови индекси на звездата Вега (с температура 9600 K) са равни на 0.

А) Като използвате приближението на Райли-Джинс, докажете, че в средния инфрачервен диапазон (дължина на вълната 3 – 15 μm) цветовите индекси на всички звезди, около които няма горещ прах, са близки до 0. [4 т.]

Б) Ако близо до дадена звезда има горещ космически прах, той ще излъчва топлинни лъчи в средния инфрачервен диапазон и цветовият индекс на звездата ще се промени. Чрез такива наблюдения се установява наличието на прахови обвивки около звездите. Космическият телескоп Джеймс Уеб е снабден с инфрачервени филтри, пропускащи лъчение с дължина на вълната 5.6 μm и 7.7 μm. Каква би трябвало да е температурата на космически прах, който излъчва най-силно на дължината на вълната, която пропуска първият филтър (5.6 μm)? [4 т.]

В) В астрономията особено често използвани са филтрите B (средна дължина на вълната 445 nm) и V (средна дължина на вълната 550 nm). Звездата Вега излъчва с около 50% по-силно в диапазона на филтъра B, отколкото в диапазона на филтъра V. Какъв е минималният възможен цветови индекс B – V на най-горещите звезди без прахова обвивка (при които за оптическия диапазон на спектъра е изпълнено условието $\lambda \gg \lambda\text{max}$)? [4 т.]

Отговори

Решение

---

Оригинал в Архива: 23-II-1112.pdf · официални решения: a23-II-1112.pdf