Съдържание

НОА 2023, II кръг (областен), 11–12 клас — Задача 5. Опашка на Райли-Джинс

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2023

XXVI Национална олимпиада по астрономия 2023, областен кръг, възрастова група XI-XII клас · 17 февруари 2023 г. · 12 т.

Условие

5 задача. Опашка на Райли-Джинс. Топлинното излъчване се описва от закона на Планк, но само в червения край на спектъра може да се използва и по-простото приближение на Райли-Джинс:

I(\lambda) = \frac{2ck_BT}{\lambda^4}

В тази формула $I(\lambda)$ е специфичният интензитет (мощността на излъчване на тялото на единица дължина на вълната $\lambda$ ) и чрез него се описва спектърът на излъчването, а основен параметър е температурата на излъчващата повърхност T. Формулата е валидна само при $\lambda \gg \lambda\text{max}$ , където $\lambda\text{max}$ е дължината на вълната, на която тялото излъчва най-силно според закона на Вин.

Цветовият индекс е разликата в звездните величини на един и същ обект при наблюдение в два различни филтъра. Например във филтрите B и V звездата Антарес има звездна величина съответно B = $2^m$ .75 и V = $0^m$ .91. В такъв случай цветовият индекс на Антарес е B – V = 2.75 – 0.91 = 1.84. По дефиниция всички цветови индекси на звездата Вега (с температура 9600 K) са равни на 0.

А) Като използвате приближението на Райли-Джинс, докажете, че в средния инфрачервен диапазон (дължина на вълната 3 – 15 μm) цветовите индекси на всички звезди, около които няма горещ прах, са близки до 0. [4 т.]

Б) Ако близо до дадена звезда има горещ космически прах, той ще излъчва топлинни лъчи в средния инфрачервен диапазон и цветовият индекс на звездата ще се промени. Чрез такива наблюдения се установява наличието на прахови обвивки около звездите. Космическият телескоп Джеймс Уеб е снабден с инфрачервени филтри, пропускащи лъчение с дължина на вълната 5.6 μm и 7.7 μm. Каква би трябвало да е температурата на космически прах, който излъчва най-силно на дължината на вълната, която пропуска първият филтър (5.6 μm)? [4 т.]

В) В астрономията особено често използвани са филтрите B (средна дължина на вълната 445 nm) и V (средна дължина на вълната 550 nm). Звездата Вега излъчва с около 50% по-силно в диапазона на филтъра B, отколкото в диапазона на филтъра V. Какъв е минималният възможен цветови индекс B – V на най-горещите звезди без прахова обвивка (при които за оптическия диапазон на спектъра е изпълнено условието $\lambda \gg \lambda\text{max}$ )? [4 т.]

Отговори

Решение

А) Като използваме приближението на Райли-Джинс пресмятаме отношението на интензитетите на излъчване на един обект на две дължини на вълната $\lambda_X$ и $\lambda_Y$ :

\frac{I_X}{I_Y} = \left(\frac{\lambda_Y}{\lambda_X}\right)^4

Това отношение е валидно за дълговълновата част на спектъра ( $\lambda \gg \lambda\text{max}$ ), където е средният инфрачервен диапазон. То не зависи от температурата. Следователно, отношението на потоците лъчение през два определени инфрачервени филтъра X и Y е почти еднакво за всички звезди:

\frac{\Phi_X}{\Phi_Y} = const

Изключение са звездите, обградени от значително количество прах, защото за излъчването на хладния прах условието $\lambda \gg \lambda\text{max}$ не е валидно в средния инфрачервен диапазон.

Звездната величина на произволна звезда във филтри X и Y е:

X - m_{VEGA} = -2.5\lg\left(\frac{\Phi_X}{\Phi_{X\,VEGA}}\right)

Y - m_{VEGA} = -2.5\lg\left(\frac{\Phi_Y}{\Phi_{Y\,VEGA}}\right)

Тъй като цветовите индекси на Вега са равни на 0, звездната ѝ величина е еднаква във всички филтри (приблизително $0^m$ .03). Изваждаме горните две равенства почленно и получаваме:

X - Y = -2.5\lg\left(\frac{\Phi_X}{\Phi_{X\,VEGA}}\right) + 2.5\lg\left(\frac{\Phi_Y}{\Phi_{Y\,VEGA}}\right)

X - Y = -2.5\lg\left(\frac{\Phi_X \Phi_{Y\,VEGA}}{\Phi_Y \Phi_{X\,VEGA}}\right)

Но понеже отношението на потоците през двата различни филтъра е еднакво за всички звезди, изразът в скобите от последното уравнение е равен на единица и оттук за цветовия индекс на произволно взета звезда следва:

X - Y = 0

Б) По закона на Вин:

\lambda_{max}T = 2.9 \times 10^{-3}\ \text{m K}

За космическия прах, който излъчва най-силно на дължина на вълната $\lambda\text{max} = 5.6 \times 10^{-6}$ m получаваме T = 520 K или около 250 °C.

В) По закона на Вин за най-горещите звезди от клас О пикът на излъчването е в ултравиолетовия диапазон и можем да приемем, че за филтри B и V $\lambda \gg \lambda\text{max}$ .

Ако направим приближението, че отношението на потоците лъчение на дадена звезда е същото като отношението на интензитетите за дължини на вълните в средата на спектралните ивици на пропускливост на филтрите, то за най-горещите звезди

\frac{\Phi_B}{\Phi_V} = \left(\frac{\lambda_V}{\lambda_B}\right)^4 \approx 2.333

От условието, за Вега същото отношение е:

\frac{\Phi_{B\,VEGA}}{\Phi_{V\,VEGA}} \approx 1.5

При тези приближения цветовият индекс на най-горещите звезди е

B - V = -2.5\lg\left(\frac{\Phi_B \Phi_{V\,VEGA}}{\Phi_V \Phi_{B\,VEGA}}\right) \approx -2.5\lg\left(\frac{2.333}{1.5}\right) \approx -0.48

Действителната минимална стойност е близо до –0.35.

Критерии за оценяване (общо 12 т.):

За трите подусловия – 3 × 4 т. = 12 т.

Звездна карта с видимия път на кометата Хиакутаке през 1996 г. около северния небесен полюс. — Видимият път на кометата Хиакутаке на фона на звездното небе през 1996 г. – към 1 задача.

Оригинал в Архива: 23-II-1112.pdf · официални решения: a23-II-1112.pdf