НОА 2023, II кръг (областен), 7–8 клас — Задача 2. Галактики

• А) $D = \delta_{rad} \cdot r \approx \frac{\delta' \cdot r}{3438'}$

• Б) За звездата от NGC 6946 – нейната обиколка продължава почти два пъти по-дълго ($t_2/t_3 = 1.96 \approx 2$).

• В) $t = \pi \cdot D \cdot \frac{c}{V}$

  Точките са 2 × 2 т. = 4 т. – по 2 т. за всяка галактика.

Решение: Линейният размер на галактиките може да се намери от ъгловия размер и разстоянието до тях, като се използва връзката между трите величини:

Тук $\delta_{\mathrm{rad}}$ е ъгловият размер в радиани, $D$ е линейният размер, а $r$ е разстоянието до галактиката. Линейният размер и разстоянието трябва да са в едни и същи единици, а ъгловият размер се получава в радиани. Оттук следва:

Ще получим линейния размер на галактиките в светлинни години, ако превърнем ъгловия размер от дъгови минути в радиани. Това става, като разделим ъгловия размер в минути на броя на дъговите минути в един радиан:

Тук $\delta'$ е ъгловият размер в дъгови минути, а $3438'$ е броят на минутите в един радиан. Числената стойност е закръглена до една минута. Следователно за линейния размер на галактиката в светлинни години може да получим следната формула:

където $r$ е разстоянието до галактиката в светлинни години.

Пресмятаме линейния размер на всяка галактика в светлинни години и подреждаме галактиките в низходящ ред по големина:

Виждаме, че дори да закръглим линейните размери до хиляди светлинни години, подреждането няма да се промени.

Времето, за което една звезда обикаля около центъра на една галактика, ще е равно на дължината на обиколката на галактиката, разделена на скоростта на звездата:

Нека пресметнем отношението на времената за двете избрани галактики. Галактиките са на второ и трето място в подредения списък по големина:

Виждаме, че времето за обикаляне на звездата от втората по размери галактика, NGC 6946, е почти два пъти по-дълго от времето за обикаляне на третата галактика, NGC 2841. Това е така, защото двете галактики са почти еднакви по размер, а скоростта на звездата от втората галактика е почти два пъти по-малка от скоростта на звездата от третата галактика.

Обиколката на една галактика е:

Когато диаметърът на галактиката е в светлинни години и обиколката ще получим в светлини години. Светлинната година е разстояние, което светлината изминава за една година. Ако звездата се движеше със скоростта на светлината, то тя щеше да направи една обиколка за толкова години, колкото е обиколката на галактиката в светлини години. Но звездите се движат с по-малка скорост. Времето на обикаляне е толкова пъти по-дълго, колкото скоростта на звездите е по-малка от скоростта на светлината. Следователно ако умножим обиколката на галактиката по отношението на скоростта на светлината към скоростта на звездата, ще получим времето, за което звездата прави една пълна обиколка:

Тук $D$ е диаметърът на галактиката в светлинни години, $c$ е скоростта на светлината в km/s и $V$ е скоростта на звездата в km/s.

Пресмятаме за двете галактики и получаваме:

Критерии за оценяване (общо 12 т.):

За подреждане на шестте галактики по големина и обосновка – 6 т.

Забележка: За да се счита за правилно решението на това подусловие, не е необходимо непременно да се пресметнат линейните размери на всички галактики в светлинни години, както е дадено тук. Могат да се използват и само отношения на техните ъглови размери и разстоянията до тях и да се направи преценка чрез подходящи разсъждения и сравнения.

За определяне коя от звездите в двете галактики прави една обиколка за по-дълго време и обосновка – 2 т.

За намиране на времената за пълната обиколка в двете галактики – 2 × 2 т. = 4 т.