Съдържание

НОА 2023, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 2. Пулсар на Хълс и Тейлър

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2023

XXVI Национална олимпиада по астрономия 2023, III кръг, ученици от 11-12 клас – теоретични задачи · 6 май 2023 г. · 12 т.

Условие

Обектът PSR B1913+16 (също известен като пулсара на Хълс и Тейлър) е двойна система, състояща се от две неутронни звезди, една от които е пулсар. Двете компоненти на системата имат практически еднакви маси, като сумарната им маса е 2.83 $M_\odot$ (маси на Слънцето).

Пулсарът на Хълс и Тейлър е успешно използван за косвено потвърждение на съществуването на гравитационни вълни. Оказва се, че излъчвайки този вид вълни, системата губи от своята механична енергия. Поради това, голямата полуос на относителната орбита на двете неутронни звезди намалява, вследствие от което намалява и техният орбитален период.

По хоризонталната ос на графиката е нанесено времето в години. По вертикалната ос е нанесена величина, която е свързана с изменението на орбиталния период на системата. Този период се отчита като интервал от време между две последователни преминавания на звездите през перицентровете на своите орбити около центъра на масите. Нека приемем някаква начална наблюдавана стойност на този период ( $T_0$ = 7.75h) като основна и въз основа на нея да изчислим всички бъдещи преминавания на звездите през перицентровете (приемайки, че периодът не се променя). Поради намаляването на орбиталния период с времето, наблюдаваните моменти на преминаване на звездите през перицентровете всеки път ще избързват спрямо предизчислените моменти и това избързване ще се натрупва с времето. Стойността на това избързване е нанесена на вертикалната ос на графиката.

Натрупано изместване на момента на преминаване през перицентъра (Cumulative period shift, s) като функция от годината (Year) за PSR B1913+16.

Като използвате дадената графика, намерете:

(Следният текст е отпечатан след подусловията А)–Г):)

Приемете, че промяната на голямата полуос на относителната орбита на системата, в рамките на периода, в който са правени измерванията, е много по-малка от самата голяма полуос, а също така, че орбиталният период се променя равномерно с времето.

Справочни данни:

Гравитационна константа – $\gamma = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \text{N.m}^2\text{.kg}^{-2}$
Светимост на Слънцето – $L_0 = 3{,}8 \cdot 10^{26}\ \text{W}$

А) Промяната на периода на системата за една година $\varDelta T$ ; [3 т.]

Б) Промяната на голямата полуос на относителната орбита за една година $\varDelta a$ ; [4 т.]

В) „Гравитационната светимост“ на системата – $L_G$ ;

Под гравитационна светимост се има предвид енергията, която системата излъчва под формата на гравитационни вълни, за време 1 секунда. [4 т.]

Г) Сравнете получения в предното подусловие резултат със светимостта на Слънцето. [1 т.]

Отговори

Решение

А) Като използваме дадената ни графика, определяме, че началният момент е през 1975 г. Тогава „подраняването“ на наблюдавания момент на преминаването на неутронните звезди през перицентровете на своите орбити се приема за равно на 0.

Ако периодът на системата беше постоянен и равен на началния, тази графика щеше да бъде хоризонтална права линия, съответстваща на стойност 0. В случай, че орбиталният период е постоянен, но по-кратък от началния, моментите на периастър щяха да подраняват с една и съща величина за всеки изминал период. Това подраняване би се натрупвало равномерно с времето. Поради това, графиката би била линейна.

В реалния случай, ние приемаме, че периодът на системата се променя равномерно с времето. По тази причина, избързването на периастъра се получава да квадратична функция на времето, т.е. представената ни крива е парабола. Промяната на промяната на това избързване (неговото „ускорение“ по времето) е пропорционална на търсеното $\varDelta T$ .

От графиката можем да измерим, че за цялото време, в което са трупани данните (от 1975 г. до 2005 г.) моментът на преминаване на звездите през периастър подранява с $\Delta t = 40$ s. Понеже, намаляването на орбиталния период, в рамките на това време е много по-малко от началната му стойност, то броят на изминалите периоди $N$ можем да пресметнем, като разделим изминалите 30 години на $T_0$ = 7.75h = 27 900 s.

N = \frac{30\ \text{год.}}{T_0} = 33\,932\ \text{броя периоди}

Ако периодът не се променяше, общата продължителност на тези $N$ на брой периоди щеше да бъде точно 30 години. В действителност, тяхната продължителност е с $\Delta t = 40$ s по-кратка.

Оттук следва, че можем да въведем средна продължителност на орбиталния период $T_{ср}$ , за която е в сила следното равенство:

T_{ср} = \frac{30\,\text{г.} - 40\ \text{s}}{N} = 27\,899{.}99882\ \text{s}

Нека с $T_{кр}$ да означим стойността орбиталния период на системата в края на тези 30 години. Тъй като приемаме, че този орбитален период се променя равномерно с времето, то можем да запишем следното равенство:

T_{ср} = \frac{T_0 + T_{кр}}{2}

Следователно, от 1975 г. до 2005 г., периодът се променя с:

T_o - T_{кр} = 2\cdot\left(T_0 - T_{кр}\right) \approx 2{,}36\ \text{ms}

Оттук намираме, че търсената промяна за една година е $\varDelta T = (T_o - T_{кр})/30 \approx 79\ \mu\text{s}$ .

Б) Нека $a_0$ да е голямата полуос на относителната орбита на системата в началния момент. След една година, тази голяма полуос е вече $a_0 - \Delta a$ , а орбиталният период е $T_0 - \varDelta T$ .

Съгласно третия закон на Кеплер:

\frac{a_0^3}{T_0^2} = \frac{\gamma M}{4\pi^2}\qquad(1)

Оттук:

a_0 = \sqrt[3]{\frac{\gamma M T_0^2}{4\pi^2}}

a_0 \approx 0{.}013\ \text{au}

Но също така:

\frac{(a_0 - \Delta a)^3}{(T_0 - \varDelta T)^2} = \frac{\gamma M}{4\pi^2} = \frac{a_0^3\left(1 - \frac{\Delta a}{a_0}\right)^3}{T_0^2\left(1 - \frac{\varDelta T}{T_0}\right)^2}\qquad(2)

Приравнявайки лявата част на уравнение (1) и дясната част на уравнение (2), получаваме:

\left(1 - \frac{\Delta a}{a_0}\right)^3 = \left(1 - \frac{\varDelta T}{T_0}\right)^2

Разкривайки скобите и пренебрегвайки всички членове, в които $\Delta a$ и $\varDelta T$ са на степен по-голяма от 1:

3\frac{\Delta a}{a_0} = 2\frac{\varDelta T}{T_0}

Следователно:

\Delta a = \frac{2}{3}\frac{\varDelta T}{T_0}a_0

\Delta a \approx 3{.}7\ \text{m}

Голямата полуос на относителната орбита намалява с 3.5 метра всяка година.

В) Пълната механична енергия на системата в началото е:

E_0 = -\frac{\gamma\left(\frac{M}{2}\right)^2}{2a_0}

След една година, тази енергия може да се изрази като:

E_0 - \Delta E = -\frac{\gamma\left(\frac{M}{2}\right)^2}{2(a_0 - \Delta a)}

Тук $\Delta E$ е абсолютната стойност на загубената механична енергия.

Изваждайки почленно двата израза:

\Delta E = -\frac{\gamma\left(\frac{M}{2}\right)^2}{2a_0} + \frac{\gamma\left(\frac{M}{2}\right)^2}{2(a_0 - \Delta a)} = \frac{\gamma\left(\frac{M}{2}\right)^2}{2a_0}\frac{\Delta a_0}{(a_0 - \Delta a)}

Пренебрегвайки $\Delta a$ в знаменателя, се получава:

\Delta E \approx \frac{\gamma\left(\frac{M}{2}\right)^2}{2a_0^2}\Delta a

Според условието, цялата загубена механична енергия се излъчва под формата на гравитационно вълни.

Следователно, „гравитационната“ светимост на системата е:

L_G = \frac{\Delta E}{\Delta t} = \frac{\gamma\left(\frac{M}{2}\right)^2}{2a_0^2}\frac{\Delta a}{\Delta t}

L_G \approx 8{,}2\cdot 10^{24}\ \text{W}

Г) Получената светимост е около 2% от светимостта на Слънцето.

Критерии за оценяване (общо 12 т.):

А) – 3 т.

За правилен метод, по който се намира промяната на периода на системата за 1 година – 2 т.
За получена правилна (или поне разумна стойност) – 1 т.

Б) – 4 т.

За записване на третия закон на Кеплер, в двата случая, преди и след загубата на механична енергия – 1 т.
За правилни математически преобразувания, посредством, които се получава изразът за намаляването на голямата полуос – 2 т.
За краен израз и правилна числена стойност – 1 т.

В) – 4 т.

За записване на формулата за механична енергия, като функция на голямата полуос, преди и след загубата на механична енергия – 1 т.
За правилни математически преобразувания, посредством, които се получава изразът за „гравитационната“ светимост – 2 т.
За краен израз и правилна числена стойност – 1 т.

Г) – 1 т.

Оригинал в Архива: 23-III-1112-teor.pdf · официални решения: a23-III-1112-teor.docx