Съдържание

НОА 2023, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 3. Пътешествие във времето

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2023

XXVI Национална олимпиада по астрономия 2023, III кръг, ученици от 11-12 клас – теоретични задачи · 6 май 2023 г. · 13 т.

Условие

Знаменитият инженер Гайко Бурмов изобретява машината на времето. При първото й изпробване той решава да се пренесе в 1609 г. в Италия и да се запознае с Галилео Галилей. Но нещо се обърква и той се оказва в още по-далечното минало. Инженер Бурмов е и астроном любител и въпреки страшния студ навън, започва системни наблюдения. Така установява, че пролетната равноденствена точка е съвсем близо до звездата Антарес.

Видим път, описван от северния небесен полюс поради прецесията – към задача 3.

Карта на звездното небе с еклиптична координатна мрежа – към задача 3.

А) Разполагате със звездна карта и с карта на пътя, описван от северния небесен полюс поради прецесията на земната ос. Периодът на прецесия е 25765 години. На картата с пътя на северния небесен полюс нанесете приблизително неговото положение в епохата, в която се е пренесъл изобретателят. Определете в кое хилядолетие се е оказал той. Коя ярка звезда би могла да се използва като Полярна звезда? На другата карта отбележете есенната равноденствена точка. Близо до коя ярка звезда се намира тя? [5 т.]

Б) След като е направил нужните корекции, Гайко Бурмов отново пуска в ход машината на времето. Този път обаче, той се озовава в далечното бъдеще. Вега е увеличила блясъка си с $0.5^\mathrm{m}$ . В наше време тази звезда се намира на разстояние 25.04 светлинни години. Известно е, че тя се приближава към нас и след 264 000 години ще прелети покрай Слънцето на минимално разстояние 13.2 светлинни години. В кое хилядолетие се оказва видният изобретател този път? На какво ъглово разстояние се е изместила Вега относно сегашното си положение? Ще бъде ли тя тогава близо до северния небесен полюс? [8 т.]

Отговори

Решение

Картата на звездното небе в еклиптична координатна система е подобна на полярна координатна система. Еклиптичната дължина $\lambda$ се отмерва от пролетната равноденствена точка $\gamma$ , където е равна на $0^\circ$ , като нараства на изток, т.е. в посока по часовниковата стрелка на изобразената карта. С времето, поради прецесията, пролетната равноденствена точка се премества на запад, като прави пълно завъртане по еклиптиката за $T_{пр}$ = 25765 години. Следователно ъгълът $\Delta\lambda$ между пролетната равноденствена точка и посоката към Антарес, отнесен към $360^\circ$ , ще е пропорционален на времето $\Delta T$ , изминало от момента, когато Антарес е бил близо до пролетната равноденствена точка, отнесено към периода на прецесия $T_{пр}$ . Ъгълът е в посока изток, по часовниковата стрелка, защото преместването е в миналото. Измерваме ъгъла и получаваме, че $\Delta\lambda = 249{.}5^\circ$ .

\frac{\Delta\lambda}{360^\circ} = \frac{\Delta T}{T_{пр}}

\Delta T = T_{пр}\cdot\frac{\Delta\lambda}{360^\circ} = 25765\cdot\frac{249{.}5^\circ}{360^\circ} = 17857\ \text{години}

Виждаме, че инженер Бурмов се е преместил приблизително 18000 години назад. Това е 16-тото хилядолетие преди новата ера. Земята е все още в ледниковата епоха и е много студено.

Пътят на северния небесен полюс с нанесено положение на полюса в епохата на инженер Бурмов – близо до Денеб.

Като се преместим по картата, показваща движението на Северния небесен полюс, на същия ъгъл в посока по часовниковата стрелка, т.е. в миналото, попадаме на участък от пътя на полюса, който е близък до Денеб. Следователно, тогава Денеб би могъл да бъде Полярна звезда.

Есенната равноденствена точка е противоположна на пролетната. На картата виждаме, че когато Антарес е близо до пролетната равноденствена точка, близо то есенната равноденствена точка се намира звездата Алдебаран, $\alpha$ от съзвездието Бик (Телец).

Към решението на задача 3: еклиптичната карта с ъгъла Δλ между пролетната равноденствена точка γ и Антарес, и посоката към Алдебаран.

Нека Вега в началния момент е в точка $V_o$ , а след $t_V$ = 264 000 години в точка $V_2$ . Наблюдателят е в точка T. В точка $V_2$ разстоянието е минимално, $r_{min}$ = 13.2 светлинни години, а това е почти два пъти по-малко от началното разстояние, $r_o$ = 25.04 светлинни години, откъдето следва, че осветеността от звездата нараства почти 4 пъти и следователно повече от една звездна величина. Затова, очевидно, точката, в която Вега е с половин звездна величина по-ярка, е някъде по пътя между двете точки. Нека означим тази точка с $V_1$ , а разстоянието до звездата с $r_1$ .

Чертеж към подусловие Б) на задача 3: наблюдателят T и положенията V₀, V₁ и V₂ на Вега.

От формулата на Погсон и закона, според който осветеността е обратнопропорционална на квадрата на разстоянието, следва:

\frac{r_0^2}{r_1^2} = \frac{E_1}{E_0} = 10^{-0.4\cdot\Delta m}

където $\Delta m = 0.5^\mathrm{m}$ .

r_1^2 = r_0^2\cdot 10^{-0.4\cdot\Delta m}

r_1 = r_0\cdot 10^{-0.1} = 19{.}89\ \text{ly}

Сега знаем големините на хипотенузите и малкия катет на правоъгълните триъгълници, които се виждат на фигурата. Следователно можем да намерим другите катети на триъгълниците:

Катетът $V_o V_2$ е равен на пътя $r_V$ , който Вега изминава за 264 000 години. Намираме го като използваме теоремата на Питагор:

r_V = \sqrt{r_0^2 - r_{min}^2} = 21{.}28\ \text{ly}

Аналогично намираме $r_2$ :

r_2 = \sqrt{r_1^2 - r_{min}^2} = 14{.}88\ \text{ly}

За $r_3$ получаваме:

r_3 = r_V - r_2 = 6{.}4\ \text{ly}

Чрез пропорции намираме времето, за което звездата изминава разстоянието $r_3$ :

t_3 = t_V\cdot\frac{r_3}{r_V} = 79\,400\ \text{години}

Виждаме, че инженер Бурмов е успял да се премести в осемдесетото хилядолетие, отмервано от сегашния момент, или в осемдесет и второто хилядолетие от новата ера.

Очевидно:

\alpha + \gamma = \arccos\left(\frac{r_{min}}{r_0}\right) = 58^\circ{.}1865

\alpha = \arccos\left(\frac{r_{min}}{r_1}\right) = 48^\circ{.}4212

\gamma = 58^\circ{.}1865 - 48^\circ{.}4212 = 9^\circ{.}7653 = 9^\circ 45'55''

Това ще бъде ъгловото отместване на Вега от сегашното ѝ положение. То няма да й помогне да бъде тогава Полярна звезда, защото ако разделим 79400 години на периода на прецесия, ще получим 3.08. Това означава, че оста на Земята е извършила 3 прецесионни завъртания и още 0.08 от периода на прецесия, което е равно на приблизително 2100 години. Когато погледнем картата на движението на полюса ще видим, че той ще е близо до звездата Ерай (Алрай), $\gamma$ от съзвездието Цефей. До Вега полюсът ще пътува още 10000 години.

Критерии за оценяване (общо 13 т.):

За правилни разсъждения и намиране в кое хилядолетие се е пренесъл инженер Бурмов – 2 т.
За правилни разсъждения, означаване на полюса и отговор коя е полярната звезда – 2 т.
За правилно посочване коя е звездата близо до есенната равноденствена точка – 1 т.
За правилен чертеж и намиране на разстоянието по разликата в звездните величини – 4 т.
За намиране на времето за достигане на описаното положение на звездата – 2 т.
За определяне на ъгъла на който се е преместила Вега по небето – 1 т.
За правилни разсъждения и коментар относно полярната звезда в бъдещия случай – 1 т.

Оригинал в Архива: 23-III-1112-teor.pdf · официални решения: a23-III-1112-teor.docx