НОА 2023, III кръг (национален), 7–8 клас — Задача 2. Voyager-1

• А) Крайната точка на траекторията лежи близо до границата между съзвездията Змиеносец и Херкулес.

• Б) $\alpha \approx 17^{h}20^{m},\qquad \delta \approx +12°$

• В) $t = \frac{r}{c} \approx 79361\ \mathrm{s} \approx 22^{h}02^{m}41^{s}$

  ≈ 22ʰ.0447 ≈ 22h 02m 41s.

• Г) От $21^{h}06^{m}46^{s}$ до $5^{h}20^{m}$ по местно слънчево време (т.е. от 3ʰ46ᵐ46ˢ след изгрева на точката, в която се проектира станцията, до нейния залез).

Тъй като от момента на изстрелването на станцията Voyager-1 са изминали около 46 години, тя вече се е отдалечила на много голямо разстояние от нас. Това се вижда и на картата с пътя на станцията на фона на звездите. „Примките“, които описва станцията при своето видимо движение относно земния наблюдател, се дължат на обикалянето на Земята около Слънцето. Те стават все по-малки с течение на времето, тъй като видимото паралактично изместване на станцията е все по-малко с нейното отдалечаване от Земята. Понастоящем тези примки са практически неразличими на картата и можем да смятаме, че на фона на звездите станцията се проектира в точката, която бележи края на нанесената видима траектория. Тази точка се намира близо до границата между съзвездията Змиеносец и Херкулес. Нанасяме точката на другата карта.

По координатната мрежа на тази карта определяме приблизително ректасцензията и деклинацията на станцията:

Ако разстоянието от Земята до станцията Voyager-1 е $r$, то времето, за което нашият радиосигнал ще стигне до нея, ще бъде:

На 21 юни ректасцензията на Слънцето е $\alpha_0 = 6^{h}$. Тогава то се намира в точката на лятното слънцестояние. Нанасяме го на картата.

Ако в даден момент изпратим сигнал към станцията и тя веднага излъчи към нас автоматичен отговор, то ние ще получим този отговор след време:

За да получим отговора с нашия телескоп трябва точката, в която е станцията Voyager-1 да бъде над хоризонта за нас както в момента на изпращането на сигнала, така и в момента на пристигането на отговора.

Земята прави едно завъртане около оста си за $23^{h}56^{m}04^{s}$. За да улесним нашето решение, нека си представим, че Земята е неподвижна, а точката, в която се намира станцията, се върти около Земята от изток на запад с този период. Интервалът от време $2t$ може да се представи по следния начин:

Нека първо да си представим, че изпращаме нашия сигнал в момента, когато точката от звездното небе, в която се проектира станцията, изгрява. Докато получим отговора, тази точка ще е направила едно пълно завъртане около Земята, а за да завърши второто си завъртане, ще ѝ трябват още $3^{h}46^{m}46^{s}$. Следователно нейният отговор няма да може да се получи при нас. За да го получим, трябва да изпратим сигнала не по-рано от $3^{h}46^{m}46^{s}$ след изгрева на точката, в която се намира на станцията.

Ако изпратим нашия сигнал миг преди момента на залеза на станцията, то до получаването на отговора точката, в която е станцията, ще е направила непълни две завъртания около Земята и все още ще се намира над хоризонта – ще ѝ остават $3^{h}46^{m}46^{s}$ до залеза.

Следователно ние можем да изпратим сигнал до станцията в интервала от време от момента, който е $3^{h}46^{m}46^{s}$ след изгрева на точката в небето, където тя се намира, до залеза на тази точка.

Приемаме, че на екватора Слънцето изгрява в 6 часа по местно слънчево време и залязва в 18 часа. Ректасцензията на станцията е с $11^{h}20^{m}$ по-голяма от тази на Слънцето. Следователно тя изгрява 40 минути преди залеза на Слънцето и залязва 40 минути преди неговия изгрев. Това означава, че интервалът от време, в който можем да изпратим нашия радиосигнал, трябва да е от $17^{h}20^{m}+3^{h}46^{m}46^{s} = 21^{h}06^{m}46^{s}$ до $5^{h}20^{m}$ по местно слънчево време.

В нашето решение не отчетохме, че космическата станция е практически неподвижна относно фона на звездното небе, но Слънцето се движи от запад на изток по еклиптиката. Това ще съкрати интервала по местно слънчево време, в който можем да изпратим нашия сигнал, с около 2 минути. Но такава точност в нашия случай няма особено значение, защото пресметнатите от нас стойности на практика трябва да се съобразят с редица други обстоятелства. Първо, радиосигналът от станцията няма да се получи само в една точка, а в определена област от земното кълбо, която зависи от характеристиките на излъчващата антена на космическия апарат. Второ, нашият радиотелескоп едва ли може да бъде насочен точно към хоризонта и за да бъде изпратен сигналът от нас и да бъде регистриран отговорът на станцията, трябва точката, където е Voyager-1, да бъде на определена минимална височина над хоризонта.

Критерии за оценяване (12 т.):

За определяне в кое съзвездие е станцията – 1 т.

За нанасяне на станцията на картата – 1 т.

За определяне на координатите на станцията – 1 т.

За пресмятане на времето за пътуване на сигнала до Voyager – 3 т.

За нанасяне на положението на Слънцето върху картата – 1.5 т.

За определяне на интервала относно моментите на изгрев и залез на станцията – 3т.

За определяне на интервала в местно слънчево време -1.5 т.