НОА 2023, III кръг (национален), 7–8 клас — Задача 4. Парад на планетите

• А) От южното полукълбо; от континента Австралия (на снимката се разпознава операта в Сидни).
• Б) На 21 април 2022 г. Юпитер се наблюдава на ≈ 37° от Слънцето, Сатурн – на ≈ 68°, Венера – на ≈ 45°, а Марс – на ≈ 57° (всички западно от Слънцето, при утринна видимост).
• В) За Венера – горно съединение (тя е близо до западна максимална елонгация). За Марс – западна квадратура, а след това противостояние.

А) Виждаме, че планетите лежат приблизително на една линия. В някакво приближение, може да се приеме, че това е еклиптиката. Също така, забелязваме, че тази линия е наклонена наляво спрямо хоризонта. Понеже кадърът е заснет преди изгрева на Слънцето, то можем да направим извода, че наблюдателят е гледал в посока изток. Еклиптиката е наклонена към северната част на небето за него. Следователно, можем да заключим, че снимката е направена от южното полукълбо на Земята.

На снимката ясно разпознаваме забележителната архитектура на операта в град Сидни, откъдето следва, че парадът на планетите е заснет от континента Австралия. 😊

Б) Нека да определим ъгловото отстояние на Сатурн от Слънцето и на Юпитер от Слънцето в момента, в който е заснет кадърът.

Понеже е нужно да отчитаме движението на всички планети, то първо ще намерим орбиталните периоди на Сатурн и Юпитер. За целта можем да използваме третия закон на Кеплер, но записан за Слънчевата система, в следния вид:

където $r$ е радиусът на орбитата на планетата в астрономически единици, а $T$ е нейният орбитален период в земни години.

Оттук намираме, че орбиталният период на Юпитер е 11.8 години, а на Сатурн – 29.7 години. Това означава, че Юпитер се движи около Слънцето с 11.8 пъти по-малка ъглова скорост, а Сатурн с 29.7 пъти по-малка ъглова скорост в сравнение със Земята.

Начертаваме в мащаб орбитите на Земята и Юпитер (удачен избор е радиусът на земната орбита да бъде 2cm, а радиусът на орбитата на Юпитер – 10,4 cm). Означаваме и посоките им на движение (например, обратно на часовниковата стрелка).

Избираме положение по земната орбита, в което нашата планета е била на 2 август 2021г, по време на противостоянието на Юпитер и означаваме това положение с Е0. Юпитер, съответно е в точка от своята орбита, която лежи на една права линия с избраното положение на Земята и Слънцето (означаваме я със J0). Датата 21-ви април 2022 г. е 243 дни след 20-ти август 2021 г. Оттук можем да пресметнем, че от момента на противостоянието до момента, в който е заснет даденият ни кадър, нашата планета се е придвижила с (243/365).360⁰ ≈ 240 ⁰ по орбитата си. Измервайки този ъгъл с връх Слънцето, спрямо точка Е0, намираме положението на планетата ни на 21-ви април 2022 г. Означаваме го със Е1. За това време от 243 дни, Юпитер се е преместил по орбитата си с 243⁰/ 11.8 ≈ 20⁰. По аналогичен начин, нанасяме и неговото положение за дата 21-ви април и го означаваме със J1. Измерваме ъгъла, който сключват отсечките Юпитер-Земя и Слънце-Земя. Неговата стойност е 37⁰. Това е ъгловото отстояние, на което наблюдаваме Юпитер от Слънцето в момента, в който е заснета снимката.

Повтаряме същата процедура с планетата Сатурн. Най-добре е да се направи нов чертеж, на който да се начертаят земната орбита и тази на Сатурн. В случая, най-удачно е да изберем мащаб, при който 1 au съответства на 1 cm. В такъв случай, орбитата на Сатурн ще има радиус 9.6 cm. След като изпълним всички описани по-горе стъпки, измерваме, че на 21-ви април 2022 г. Сатурн се е наблюдавал на 68⁰ от Слънцето.

(Поради това, че всички стъпки в задачата се изпълняват на ръка, е възможно дори при съвсем правилно извършени действия, получените от ученика стойности на ъглите да се различават от авторските с няколко градуса.)

Тъй като приемаме, че орбитите на всички планети лежат в една равнина, то можем да считаме, че наблюдаваме планетите в равнината на еклиптиката. Това означава, че те лежат на един голям кръг от небесната сфера заедно със Слънцето (който се явява самата еклиптика).

По снимката измерваме, че разстоянието между Сатурн и Юпитер е 81 mm. Тъй като Юпитер се наблюдава на 37⁰, а Сатурн на 68⁰ от Слънцето, и двете планети, заедно със Слънцето лежат на един голям кръг от небесната сфера, то тези 81 mm по кадъра съответстват на 31⁰ по небето.

Венера се проектира по кадъра на 22 mm от Юпитер. Следователно, в този момент, тя се наблюдава на 37⁰ + (22/81).31⁰ ≈ 45⁰ от Слънцето.

Аналогично, намираме, че на 21-ви април 2022 г. Марс е бил на ъглово отстояние 57⁰ от Слънцето.

За да начертаем взаимното положение на Земята, Марс и Венера, първо начертаваме орбитите им в един мащаб. Подходящо е да изберем такъв, при който 1 au съответства на 5 cm. При това положение, радиусът на марсианската орбита е 7.6 cm, а на венерианската – 3.6 cm.

Избираме точка от земната орбита, в която Земята се е намирала на 21 април 2022 г и я означаваме с Е. Означаваме посоките, в които трите планети се движат. Свързваме Земята и Слънцето (което е в центъра на трите орбити). Планетите имат утринна видимост, от което следва, че се наблюдават западно от Слънцето, т.е. намират се „по посока“ на движението на Земята. Начертаваме лъчи, с начало Земята, сключващи ъгли съответно 45⁰ и 57⁰ с отсечката Земя-Слънце. Точките, където тези лъчи пресичат орбитите на Венера и Марс, са точките, в които тези планети са се намирали, когато е била направена снимката.

В) От направения чертеж ясно се вижда, че правата, на която лежат Земята и Венера, е много близка до допирателна към венерианската орбита. Това означава, че Венера е била много близо до максимална елонгация, спрямо Земята. Понеже Венера има сутрешна видимост, то тази максимална елонгация е западна. Следващата основна конфигурация на Венера е горно съединение.

Понеже Земята се движи по своята орбита с по-голяма ъглова скорост от Марс, то в следващите месеци, тя ще го „догонва“. Неговата видимост ще бъде все по-добра и предстои той да премине последователно през конфигурациите западна квадратура и след това противостоене.

Получените стойности на ъгловите отстояние между планетите и Слънцето са много близки до реалните (в рамките на 2⁰). Отклоненията се дължат на приемането, че планетите се движат по точно кръгови орбити, лежащи в една равнина.

Критерии за оценка (13 т.):

А) 2т

- За правилен отговор от кое полукълбо е заснет кадърът – 1т.

- За вярна аргументация – 1т.

(разбира се, разпознаването на континента, като се използва това, че на снимката се вижда операта в Сидни е шега 😊)

Б) 7 т.

- За правилен метод, по който се намира ъгловото отстояние Сатурн-Слънце и Юпитер-Слънце на датата 21-ви април, прецизно изпълнение и получени правдоподобни стойности – 4т.

- За правилен извод за ъгловото отстояние на което се наблюдават Венера и Марс на дата 21-ви април – 1.5т.

- За правилен чертеж на който планетните орбити са начертани в мащаб и положенията на Марс и Венера са нанесени правилно – 1.5т.

В) 4т.

- За правилни отговори – 2т.

- За вярна аргументация – 2т.