Съдържание

НОА 2023, III кръг (национален), 9–10 клас — Задача 2. Странстващата звезда

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2023

XXVI Национална олимпиада по астрономия 2023, III кръг (национален), ученици от 9-10 клас · 6 май 2023 г. · 13 т.

Условие

Странстващата звезда. В междугалактичното пространство се носи Странстващата звезда, около която обикалят три планети. Тревистата планета е населена с разумни същества, които обичат науката. Но те не виждат звезди в своето небе и не могат да определят нито разстоянието от своята планета до звездата, нито нейния орбитален период. Могат само да наблюдават другите две планети и са установили, че синодичният период на Червената планета е приблизително равен на 1601 денонощия, а на Жълтата планета – 1004 денонощия. Според техните измервания и наблюдения интервалът от време между западната и източната квадратура на Червената планета е равен на една четвърт от нейния синодичен период, а интервалът от време между западната и източната квадратура на Жълтата планета е равен на една трета от нейния синодичен период.

Трите планети се движат около звездата в една и съща посока. За наблюдател на дадена планета (в случая Тревистата планета) друга някоя планета от същата планетна система е в западна квадратура, когато отстои на видимо ъглово разстояние 90° западно от централната звезда (в случая Странстващата звезда). Източната квадратура е, когато планетата отстои на 90° източно от централната звезда.

А) Нарисувайте схема на орбитите на трите планети около звездата. Коя планета е по-близо до звездата – Червената или Жълтата планета? [3 т.]

Б) Пресметнете орбиталните радиуси на Червената и Жълтата планета в единици, равни на орбиталния радиус на Тревистата планета. [3 т.]

В) Един велик астроном от Тревистата планета вече е на път да открие третия закон на Кеплер. Помогнете му да се увери в своето предположение за съотношението на сидеричните (истинските орбитални) периоди на Червената и Жълтата планета. [3 т.]

Г) Определете истинския орбитален период на Тревистата планета. [4 т.]

Отговори

Решение

Щом за обитателите на Тревистата планета другите две планети могат да бъдат в източна и западна квадратура, то тези планети са външни за Тревистата планета. Техните орбитални периоди са по-дълги от нейния орбитален период.

Разглеждаме движението на Тревистата планета в отправна система, в която Червената планета е неподвижна (Фиг. 1 А). Тогава Тревистата планета се движи около Странстващата звезда с период, равен на синодичния период на Червената планета. Когато Тревистата планета е в положение ТП-1 на схемата, Червената планета е в западна квадратура. Когато Тревистата планета е в положение ТП-2, Червената планета е в източна квадратура. Интервалът от време между тези две положения е една четвърт от синодичния период на Червената планета. Затова ъгълът ТП-1 – Странстваща звезда – ТП-2 е прав. Следователно ако с $r_{0}$ означим радиуса на орбитата на Тревистата планета, то радиусът на орбитата на Червената планета ще бъде:

r'=r_{0}\sqrt{2}\approx 1.414\,r_{0}

Две схеми: А – орбитите на Тревистата (ТП) и Червената (ЧП) планета около Странстващата звезда с радиуси r0 и r'; Б – орбитите на ТП и Жълтата планета (ЖП) с ъгъл 120° и r'. — Фиг. 1. Орбити на Тревистата (ТП), Червената (ЧП) и Жълтата планета (ЖП).

Фиг. 1. Орбити на Тревистата (ТП), Червената (ЧП) и Жълтата планета (ЖП).

А сега разглеждаме движението на Тревистата планета в отправна система, в която Жълтата планета е неподвижна (Фиг. 1 В). В този случай Тревистата планета се движи около Странстващата звезда с период равен на синодичния период на Жълтата планета. Когато Тревистата планета е в положение ТП-1, Жълтата планета е в западна квадратура. Когато Тревистата планета е в положение ТП-2, Жълтата планета е в източна квадратура. Интервалът от време между тези две положения е една трета от синодичния период на Жълтата планета. Затова ъгълът ТП-1 – Странстваща звезда – ТП-2 е равен на 120°. Следователно в правоъгълния триъгълник Странстваща звезда – Жълта планета – ТП-2 ъгълът при Жълтата планета е равен на 30°. Оттук за радиуса на орбитата на Жълтата планета намираме:

r''=2r_{0}

В крайна сметка виждаме, че Червената планета е по-близо до звездата отколкото Жълтата планета.

Да означим с $T'$ и $T''$ съответно синодичните периоди на Червената и Жълтата планета, с $T_{0}$ орбиталния период на Тревистата планета, а с $T_{0}'$ и $T_{0}''$ орбиталните (сидеричните) периоди на Червената и Жълтата планета. В сила са следните равенства:

\frac{1}{T'}=\frac{1}{T_{0}}-\frac{1}{T_{0}'}\qquad\qquad \frac{1}{T''}=\frac{1}{T_{0}}-\frac{1}{T_{0}''}

Съгласно III закон на Кеплер:

\frac{r'^{3}}{T_{0}'^{2}}=\frac{r_{0}^{3}}{T_{0}^{2}}\qquad\qquad \frac{r''^{3}}{T_{0}''^{2}}=\frac{r_{0}^{3}}{T_{0}^{2}}

Оттук можем да намерим орбиталния период на Тревистата планета. Нека например да използваме равенствата за Червената планета:

T_{0}'=\frac{T'T_{0}}{T'-T_{0}}=T_{0}\sqrt{\left(\frac{r'}{r_{0}}\right)^{3}}

По-нататък пресмятаме:

\frac{T'}{T'-T_{0}}=\sqrt{\left(\sqrt{2}\right)^{3}}

T_{0}=T'\left(1-\frac{1}{\sqrt[4]{8}}\right)

T_{0}\approx 649\ \text{дни}

Ако направим пресмятанията, като използваме равенствата за Жълтата планета, получаваме същия резултат. Това вече е доказателство за валидността на предположението на великия астроном от Тревистата планета за III закон на Кеплер, но ние можем да го представим и в по-явен вид. Като използваме намерения от нас орбитален период на Тревистата планета, можем да определим сидеричните периоди на Червената и Жълтата планета:

T_{0}'=\frac{T'T_{0}}{T'-T_{0}}\approx 1091.4\ \text{дни}

T_{0}''=\frac{T''T_{0}}{T''-T_{0}}\approx 1835.5\ \text{дни}

След това проверяваме равенството:

\left(\frac{T_{0}'}{T_{0}''}\right)^{2}=\left(\frac{r'}{r''}\right)^{3}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{3}

Численото пресмятане показва, че то е изпълнено (стойността на отношението е ≈ 0.3536). Следователно великият астроном е прав.

Критерии за оценяване (общо 13 точки):

За представяне на схема с орбитите на планетите – 2 т.
За правилен отговор коя планета е по-близо до звездата – 1 т.
За определяне на орбиталните радиуси на двете външни планети – 3 т.
За определяне на орбиталния период на Тревистата планета – 4 т.
За проверка на III закон на Кеплер – 3 т.

Оригинал в Архива: 23-III-910-teor.pdf · официални решения: a23-III-910-teor.docx