Съдържание

НОА 2023, III кръг (национален), 9–10 клас — Задача 4. NGC 891

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2023

XXVI Национална олимпиада по астрономия 2023, III кръг (национален), ученици от 9-10 клас · 6 май 2023 г. · 13 т.

Условие

NGC 891. Галактиката NGC 891 се наблюдава в съзвездието Андромеда. Тя е спирална галактика, от тип SAb, която е разположена „на ребро“, спрямо земния наблюдател, т.е. лъчът на зрение е в равнината на нейния диск. Тази ориентация на галактиката е много удобна за измерване на нейната крива на въртене (зависимостта на скоростта на въртене на диска, около центъра на галактиката).

В таблица 1 (на отделен лист) са представени скоростите на въртене на диска като функция от разстоянието r от центъра на NGC 891.

Даденото изображение на NGC 891 има видими размери 13.3 х 8.9 дъгови минути.

Негативно изображение на спиралната галактика NGC 891, видяна „на ребро“, с червена стрелка, сочеща към една звезда близо до диска.

Справочни данни:

Гравитационна константа – $\gamma = 6{,}67.10^{-11}$ N.m $^{2}$ .kg $^{-2}$
Маса на Слънцето - $M_{\odot} = 2.10^{30}$ kg
1 pc = 3,26 ly

Предайте този лист с писмената работа!!!

r [kpc]	r [дъгови минути]	V [km/s]
0.88	0.32	234.5
2.22	0.8	191.8
3.11	1.12	211.7
4	1.44	223.3
4.89	1.76	222.5
5.78	2.08	223.6
6.67	2.4	224.2
7.56	2.72	226.1
10.22	3.68	226.6
11.11	4	223.9
12	4.32	220.1
12.89	4.64	217.6
14.67	5.28	215.6
15.56	5.6	210.1
16.44	5.92	207.6

Таблица 1: Скорост на въртене на точки от диска на галактиката NGC 891, които се намират на различни разстояния от нейния център.

А) Намерете разстоянието до галактиката. [2 т.]

Б) Постройте кривата на въртене на NGC 891 (графика на V [km/s] като функция на r [kpc]). [2 т.]

В) Намерете масата, която е заключена в концентрични сфери със съответните радиуси (в маси на Слънцето) и попълнете съответната колона на таблицата. [4 т.]

Г) Пресметнете средната плътност на диска на NGC 891, между радиуси 8 kpc и 12 kpc. Изразете я в слънчеви маси на кубичен парсек. Приемете, че на тези разстояния на практика цялата маса е концентрирана в диска на галактиката. Дебелината на този диск е 1 000 pc. [4 т.]

Д) Като използвате данните от таблицата, бихте ли могли да пресметнете за колко време показаната със стрелка звезда обикаля около центъра на NGC 891. Ако е възможно, пресметнете това време. [1 т.]

Отговори

Решение

А) Разстоянието $d$ до галактиката можем да намерим, като използваме някое от дадените ни в таблицата разстояния до центъра и неговия видим ъглов размер $\delta$ , например: r = 16.44 kpc, $\delta$ = 5.92'.

Оттук намираме, че:

d=\frac{r}{\delta\,[\mathrm{rad}]}\approx 9.56\ \mathrm{Mpc}

Б) Върху предоставената ни милиметрова хартия, начертаваме графика на зависимостта на скоростта V [km/s] от разстоянието r [kpc].

Снимка на галактиката NGC 891 „на ръб“ със стрелка, сочеща показаната звезда в дъното.

Крива на въртене на NGC 891.

Важно е ученикът да е нанесъл всички точки от таблицата. Също така, трябва да бъдат използвани разумни мащаби по двете оси, при които графиката се разполага върху по-голямата част от милиметровата хартия, но и всички точки се събират в нея.

В) Приема се, ч всяка точка от диска, за която имаме измерване в таблицата, се движи със скорост, равна на кръговата скорост за съответното разстояние от центъра на галактиката.

Следователно, за всяка от скоростите можем да запишем:

V(r)=\sqrt{\frac{\gamma M(r)}{r}}

Оттук намираме масата, съдържаща се в съответния обем:

M(r)=\frac{V(r)^{2}.r}{\gamma}

Записваме пресметнатите стойности в таблицата.

r [kpc]	r [дъгови минути]	V [km/s]	$M\,[M_{\odot}](r)$
0.88	0.32	234.5	1,12.10^10
2.22	0.8	191.8	1,89.10^10
3.11	1.12	211.7	3,22.10^10
4	1.44	223.3	4,61.10^10
4.89	1.76	222.5	5,6.10^10
5.78	2.08	223.6	6,69.10^10
6.67	2.4	224.2	7,76.10^10
7.56	2.72	226.1	8,94.10^10
10.22	3.68	226.6	1,21.10^11
11.11	4	223.9	1,29.10^11
12	4.32	220.1	1,34.10^11
12.89	4.64	217.6	1,41.10^11
14.67	5.28	215.6	1,58.10^11
15.56	5.6	210.1	1,59.10^11
16.44	5.92	207.6	1,64.10^11

Г) От кривата на въртене можем да измерим скоростите, с които точките от диска се движат на разстояния $r_{1}$ = 8 kpc и $r_{2}$ = 12 kpc. Те са съответно: $V_{1}$ = 226.1 km/s kpc и $V_{2}$ = 220.1 km/s.

Масите, заключени в тези радиуси са:

M_{1}=\frac{V_{1}^{2}.r_{1}}{\gamma}\approx 9{,}36.10^{10}M_{\odot}

M_{2}=\frac{V_{2}^{2}.r_{2}}{\gamma}\approx 1{,}34.10^{11}M_{\odot}

Масата, съдържаща се между тях е:

M_{2}-M_{1}\approx 4.10^{10}\,M_{\odot}

За да намерим средната плътност на веществото между тези две разстояния, първо трябва да намерим обема на тази част от диска, която е заключена между двата радиуса. Ако дебелината на диска е $H$ , то този обем е:

V=\pi\left(r_{2}^{2}-r_{1}^{2}\right)H\approx 7{,}4.10^{60}\,\mathrm{m}^{3}

Средната плътност на веществото, в рамките на тези радиуси е:

\rho=\frac{M_{2}-M_{1}}{V}\approx 1{,}1.10^{-20}\ \mathrm{kg/m^{3}}

Д) Показаната със стрелка звезда е част от нашата Галактика Млечен път, поради което тя не се върти около центъра на NGC 891. Намирането на нейния период тук е неуместно, защото той не може да бъде дефиниран. Можем да достигнем до извода, че звездата не е част от галактиката, чието въртене изследвахме в задачата, като отчетем това, че тази звезда е твърде ярка, за да се намира на такова разстояние от нас. Звездата би могла да бъде свръхнова, но тя се проектира точно върху облаците от космически прах, съсредоточени в равнината на диска на NGC 891. Това вещество би следвало да поглъща значителна част от светлината на звездата и да отслаби нейния блясък.

Критерии за оценяване (общо 13т):

А) 2т. – За използване на формулата за видим ъглов размер – 1т.; За правилен числен резултат – 1т.
Б) 2т. – При проверката следва да се отчитат следните критерии (всеки по 0.5т): нанесени за всички точки; използвани са по 2/3 от предоставения лист милиметрова хартия; използвани са разумни мащаби по осите, при които точките се събира в листа; прекарана е плавна крива;
В) 4т. – За формулата на кръгова скорост и правилно изразяване на масата, заключена в съответните радиуси – 2т.; За правилни числени резултати, нанесени в таблицата – 2т.
Г) 4т. – За правилно изразен обем на частта от диска, заключена между двата радиуса и вярна числена стойност – 2т.; За правилно изразяване на плътността и верен числен резултат – 2т.
Д) 1т. – Пълен брой точки на това подусловие се присъжда само, ако е даден верен отговор, който е правилно аргументиран

Оригинал в Архива: 23-III-910-teor.pdf · официални решения: a23-III-910-teor.docx