НОА 2023, IV кръг — Задача 5. Прозорци в небето

• А) Уран

• Б) -40 °

  Отпечатано в решението като $-40° \pm 5°$ (3т.) // $+40° \pm 5°$ (1т.).

• В) Алдебаран, Алнилам

  Само една от двете – 1т.

• Г) 1.5 °

  Отпечатано в решението като $1.5° \pm 0.2°$ (3т.) // $2.6 \pm 0.3°$ (1т.).

• Д) 1300 mm

  Отпечатано в решението като $1300 \pm 200\,\mathrm{mm}$; пресметнатата там стойност е 1330 mm (с видимо зрително поле 47°, а не 43°, както е в условието).

а) Уран (5т.)

Пресичайки симетрали на хорди по ръба на зрителнтото поле, намираме центровете на полетата във Фиг. 1 и Фиг. 2. Поставяме паусната хартия върху Фиг. 1 и отбелязваме по нея долната граница на квадрата и центъра $C$ на зрителното поле. С тези ориентири сме готови да съпоставяме преместванията на звездите между двете фигури.

В зрителното поле се наблюдава движението на едни и същи звезди около небесен полюс на планетата. Този полюс обаче не е в центъра на полето. Избираме няколко звезди и ги пренасяме от двете фигури на паусната хартия. Небесният полюс $P$ е в пресечната точка на симетралите, свързващи положенията на едни и същи звезди. След като сме го намерили, отмерваме с транспортир ъгъла, на който звездите са се завъртяли спрямо него. Той е около $165°$ обратно на часовниковата стрелка. За 8 часа планетата може да се е завъртяла на $165°$, $525°$, $885°$ …. Съответните стойности на периода са $17.5\,\mathrm{h}$, $5.5\,\mathrm{h}$, …. Единственият вариант в съответствие с таблицата с данни е Уран.

б) $-40° \pm 5°$ (3т.) // $+40° \pm 5°$ (1т.)

Северният полюс на планетите е по дефиниция този, който сочи северно от средната равнина на Слънчевата система. Наклонът на оста на Уран е $98°$. Съответно небесният полюс, около който въртенето на звездите е обратно на часовниката стрелка, е южен. От географска ширина $+40°$ звездите там постоянно стоят на височина $-40°$.

в) Алдебаран, Алнилам (4т.) // само една от двете (1т.)

Еклиптичната ширина на южния небесен полюс на Уран е $98° - 90° = 8°$. Търсените звезди съответно не трябва да са на повече от $33°$ от еклиптиката. Еклиптичните полюси са в Дракон и Златна риба. Съзвездията Южен Кръст, Лебед, Херкулес и Еридан са близо до това. Остават Алдебаран и Алнилам (южният небесен полюс на Уран е в Орион).

г) $1.5° \pm 0.2°$ (3т.) // $2.6 \pm 0.3°$ (1т.)

Звездите след преместването на телескопа имат уранографска деклинация $-55°$. Ъгловата скорост, с която те се движат по небето, е равна на $\omega = \frac{360°}{T}\cos 55° = 0.20°/\mathrm{min}$. Преместването за $3.42\,\mathrm{min}$ е $0.68°$. На пауса нанасяме преместванията на звездите и измерваме, че съответстват на $44\,\mathrm{mm}$. Диаметърът на зрителното поле е $99\,\mathrm{mm}$., при което полето е $1.5°$.

д) $1300 \pm 200\,\mathrm{mm}$ (2т.)

Нека размерът на областта във фокалната равнина, която е наблюдаема в окуляра, е $d$. Може да изразим $d = 2f\tan(47°/2) = 2F\tan(1.5°/2)$. Оттук обективът има фокусно разстояние $1330\,\mathrm{mm}$.