НОА 2023, IV кръг, Младша възраст — Задача 2. Неизвестен обект

• А) Графика на милиметрова хартия: точките лежат върху плавна крива, която пресича нулата около 22 d и 203 d и има минимум около $-0.5$ km/s.

• Б) 22 d и 203 d d

  Допустимо отклонение ±2 d.

• В) 106 d

  Намира се чрез метода на хордите; допустимо отклонение ±2 d.

• Г) $\Delta r = \sum V_r\,\Delta t \approx 5\times 10^6\ \text{km}$

  Почти точно 5 млн km (критериите допускат ± 0,5 млн km). Сумата на 18-те стойности в таблицата от решението е 4 995 648 km.

• Д) Слънцето

  Разликата между минималното и максималното разстояние почти точно съответства на разликата между перихелийното и афелийното разстояние по земната орбита, а интервалът между двата момента е около 180 денонощия (половин година). Според критериите максималният брой точки се присъжда и при друг отговор с достатъчно убедителна аргументация.

Решение:

а) На милиметровата хартия начертаваме следната графика, използвайки предоставените ни данни:

Прекарваме плавна крива през точките.

б) Начертаваме хоризонтална права линия, съответстваща на лъчева скорост, равна на 0. Намираме, че тя пресича прекараната от нас крива в моментите 22 d и 203 d.

в) Използвайки метода на хордите, можем да намерим, че лъчевата скорост е минимална в момента, съответстващ на 106 d.

г) По дефиниция, лъчевата скорост представлява проекцията на скоростта по лъча на зрение между обекта и наблюдателя. Тази скорост е всъщност, промяната на разстоянието обект-наблюдател за единица време. Поради това, моментите, в които лъчевата скорост на обекта е равна на 0 са моментите, в които разстоянието е максимално или минимално. Максимумът на разстоянието се достига в първия момент, в който $V_r$ е 0, защото тогава лъчевата скорост от положителна става отрицателна, т.е. разстоянието спира да расте и започва да намалява. Аналогично, минималното разстояние е във втория момент, в който лъчевата скорост е 0. Това не се изисква да бъде написано в решението на ученика.

За да намерим разликата между максималното и минималното разстояние, трябва да намерим площта, която се загражда под графиката на лъчевата скорост, между двата момента, в които тя е 0. Разбира се, това е сложна математическа процедура и не можем да направим това точно, дори само защото не знаем аналитично как тя се променя с времето. Затова можем да намерим площта приблизително, използвайки следния метод:

• Умножаваме всяка една от дадените ни стойности на лъчевата скорост по интервала от време между две измервания (той е постоянен – 10 денонощия). По този начин ние намираме приблизително промяната на разстоянието между обекта и наблюдателя за този интервал от време, предполагайки, че скоростта остава постоянна за това време.
• Извършваме тази процедура за всички 17 интервала, за които лъчевата скорост остава отрицателна.
• Събираме всички получени изменения на разстоянието и получаваме общата промяна на разстоянието обект-наблюдател, за целия интервал през който лъчевата скорост е по-малка от 0.

Резултатите от умножението са дадени в таблицата. Сумирайки всички промени в разстоянието до обекта, получаваме почти точно 5 млн km. Това подусловие може да се реши и чрез директно, но приближено намиране на площта под кривата на лъчевата скорост, т.е. преброяване на квадратчетата под тази крива. Независимо от начина на решаване, ако той е принципно верен, изпълнен правилно и се получава разумна стойност, следва да се присъди максималният брой точки.

д) Обектът би могъл да бъде нашето Слънце. Това е така, защото намерената разлика между минималното и максималното разстояние до него почти точно съответства на разликата между перихелийното и афелийното разстояние по земната орбита. Допълнителен аргумент е фактът, че интервалът от време между моментите в които разстоянието е максимално и минимално е приблизително 180 денонощия или половин година. Разбира се, това е само един от възможните отговори. Всякакви други добре аргументирани отговори би следвало да бъдат оценявани.

Никола Каравасилев

Критерии за оценяване (общо 20 т.):

А) – 4т.

• За добре построена графика: всички точки са поставени на точните си места, осите са разграфени и оразмерени правилно, използвани са поне 2/3 от листа милиметрова хартия, през точките е прекарана плавна крива – 4т.

Б) – 2т.

• За намиране на моментите, в които лъчевата скорост е 0 (с допустимо отклонение ±2d) – 2т.

В) – 2т.

• За намиране на момента, в който лъчевата скорост е минимална, чрез метод на хордите (с допустимо отклонение ±2d) – 2т.

Г) – 10т.

• За разбиране, че в моментите, в които лъчевата скорост е 0, разстоянието до обекта е минимално или максимално – 2т.
• За правилна идея за намиране на разликата между минималното и максималното разстояние – 3т.
• За правилно прилагане на метода за намиране на тази разлика – 3т.
• За получена достоверна стойност на разликата (± 0,5 млн km) – 2т.

Д) – 2т.

• За правилен отговор, че това може да е Слънцето, и вярна аргументация – 2т.
• (Максималният брой точки на това подусловие следва да бъде присъден дори ако е посочен друг отговор, но е дадена достатъчно убедителна и пълна аргументация.)