Съдържание

НОА 2023, IV кръг, Старша възраст — Задача 2. Делта Цефей

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2023

XXVI Национална олимпиада по астрономия 2023, IV кръг, практически тур, старша възраст · 15 юли 2023 г. · 20 т.

Условие

Делта Цефей. Делта Цефей е ярка звезда – прототип на типа пулсиращи променливи звезди, наречени „класически цефеиди”. Делта Цефей е на разстояние 887 ly от Земята и има период на пулсациите 5.366 d. На приложената фиг. 2 е дадена усреднена крива на блясъка на делта Цефей в U, B, V, R и I филтрите в популярната система на Johnson-Cousins. Всички звездни величини са в система Вега.

Усреднена крива на блясъка на δ Cephei: по абсцисата фаза от −0.5 до 0.5, по ординатата звездна величина от 2.5 (горе) до 6.0 (долу). Показани са пет отместени една под друга криви, означени отгоре надолу с I, R, V, B и U, всяка с типична форма на цефеида – бавен спад до минимум около фаза −0.3 и рязко покачване до максимум около фаза 0.0. Амплитудата расте от филтър I към филтър U.

Фиг. 2

А) Използвайте дадената зависимост между цветови индекс B-V и температура Т, постройте графика, показваща фотосферната температура като функция на фазата. Зависимостта е

T = 4600\ \text{K}\left(\frac{1}{0.92(B-V)+1.7} + \frac{1}{0.92(B-V)+0.62}\right)

[5 т.]

Б) Нека да предположим линейна зависимост (за звезди) на прозволен цветови индекс X–Y от B–V:

X - Y = k(B-V)

По данните от графиката определете коефициента k за цветовите индекси U–B, B–R, R–I. В какъв диапазон от температури тези коефициенти ще бъдат надеждни? [5 т.]

В) Постройте графика, показваща ефективния радиус на звездата като функция на фазата. Използвайте следната таблица с болометрични корекции за филтър V ( $BC = M_{BOL} - M_V$ ):

Спектрален клас	температура	BC
A0	9900 K	-0.40
A5	8500 K	-0.12
F0	7400 K	-0.06
F5	6600 K	0.00
G0	6000 K	-0.03
G5	5500 K	-0.07
K0	4900 K	-0.20

[6 т.]

Г) Пресметнете скоростта на разширение на фотосферата на звездата спрямо центъра ѝ за фази 0.0, 0.2, 0.4 и 0.6. При свиване посочете отрицателна стойност. [4 т.]

Отговори

Решение

Решение:

а) Измерваме вертикално разстоянието от кривата на блясъка в B до кривата на блясъка във V и получаваме цветовия индекс B-V за набор от фази. Прилагаме дадената зависимост и получаваме графика на фотосферната температура като функция от фазата. Резултатите варират в граници от 5000 до 6600 K.

Усреднени криви на блясъка на δ Cephei във филтрите U, B, V, R и I спрямо фазата (от −0.5 до 0.5); величините варират от около 2.5 (I) до 6.0 (U), с максимум на блясъка при фаза 0 и вертикални черти с грешки при фаза 0. — Фиг. 2

Точкова графика: по абсцисата фаза от −0.6 до 0.6, по ординатата температура от 4500 до над 6500 K. Точките образуват крива с минимум около 5020 K при фаза −0.30 и максимум около 6600 K при фаза 0.00, след което температурата плавно спада до около 5200 K при фаза 0.45.

б) За набор от фази с различни температури измерваме k за трите дадени цвята. Получаваме медианни стойности:

k\,(U\text{-}B) = 0.68

k\,(B\text{-}R) = 2.05

k\,(R\text{-}I) = 0.54

Тъй като всички цветови индекси са 0 за клас A0 (температура около 10 000 K), а най-ниските температури, за които сме ги тествали с Делта Цефей са около 5000 K, границите на приложимост са поне в интервала (5000, 10 000 K).

в) Модулът на разстоянието за Делта Цефей е

m - M = 5\lg(r) - 5 = 7.17\ \text{mag}

Прилагаме модула на разстоянието и интерполирани болометрични корекции от таблицата и получаваме абсолютна болометрична звездна величина M. От M получаваме светимостта L чрез:

\frac{L}{L_\odot} = 10^{0.4(4.75-M)}

Получаваме светимост от 1260 до 2400 слънчеви. Радиуса на звездата намираме от закона на Стефан-Болцман:

\frac{L}{L_{SOL}} = \left(\frac{R}{R_{SOL}}\right)^2\left(\frac{T}{T_{SOL}}\right)^4

Начертаваме графика за радиуса:

Точкова графика: по абсцисата фаза от −0.6 до 0.6, по ординатата R/Rsol от 35 до над 49. Радиусът намалява от около 48 при фаза −0.50 до минимум около 37.5 при фаза 0.00, след което расте до около 49 при фаза 0.45.

г) Прекарваме плавна крива през данните, пускаме допирателна за всяка от 4-те фази и измерваме наклона на допирателната в слънчеви радиуси на 1-ца фаза. Използвайки периода, P = 5.366 d, и слънчевия радиус, 696 000 km, превръщаме наклоните в скорости на разширение в km/s. Получаваме (с точност до ~5 km/s) v(0.0) = 0 km/s, v(0.2) = 30 km/s, v(0.4) = 5 km/s, v(0.6) = -10 km/s. За последната стойност използвахме, че фаза 0.6 е еквивалентна на фаза -0.4.

Александър Куртенков

Оригинал в Архива: 23-IV-praktST.pdf · официални решения: a23-IV-praktST.pdf