НОА 2024, I кръг (общински), 7–8 клас — Задача 3. На ръба на Луната

• А) На 9 януари или 10 януари (2 януари + $\tfrac{1}{4}\times 29.5\ \text{d} = 7.375$ дни).

• Б) На 24 октомври (10 синодични месеца = 295 дни след 2 януари); ако годината е високосна – на 23 октомври.

• В) 69.2 градуса

  $360^\circ - (295/365.25)\times 360^\circ = 360^\circ - 290.8^\circ = 69.2^\circ$, приблизително на запад от началното положение.

• Г) 223.6 pc

  $AC = \sqrt{AE^2 + CE^2} = \sqrt{100^2 + 200^2} = 223.6$ pc.

Решение:

А) Времето от пълнолунието до следващата последна четвърт е 1/4 от синодичния месец, т.е. $1/4\times 29.5\ \text{d} = 7.375$ дни. Добавяйки това към 2 януари, получаваме, че моментът на последна четвърт ще бъде на 9 януари или 10 януари. (2т.)

Б) Пълнолунията се случват през един синодичен месец. От януари до октомври има 9 пълни месеца. Но тъй като 2 януари е в началото на месеца, а синодичният месец е по-кратък от календарния, ако добавим 9 синодични месеца, ще получим дата през септември. Поради това, търсим дата след 10 синодични месеца, т.е. $10\times 29.5\ \text{d} = 295$ дни след 2 януари. Сумираме дните до края на януари (29) + февруари (28) + март (31) + април (30) + май (31) + юни (30) + юли (31) + август (31) + септември (30) = 271 дни общо до 30 септември и намираме останалите 295 – 271 = 24 октомври. Ако годината е високосна, февруари има 29 дни и датата ще бъде 23 октомври. (3т.)

В) Всяка от двете звезди е на един видим лунен радиус вляво от центъра на Луната. Следователно, ъгловото разстояние между двете звезди е равно на ъгловото разстояние между центъра на Луната през януарското и центъра на Луната през октомврийското пълнолуние. При пълнолуние Луната е приблизително на 180 градуса срещу Слънцето. Следователно, ъгловото разстояние между тези две положения на Луната ще бъде приблизително равно на ъгловото разстояние между центъра на Слънцето по време на януарското пълнолуние и центъра на Слънцето по време на октомврийското пълнолуние. Положението на Слънцето по еклиптиката зависи от положението на Земята по орбитата. За около 365.25 дни Земята се завърта на $360^\circ$ по орбитата. За 295 дни (времето между двете пълнолуния) Земята ще се завърти по орбитата си на ъгъл $(295/365.25)\times 360^\circ = 290.8^\circ$. Същият път ($290.8^\circ$) ще измине Слънцето по еклиптиката в посока изток. Следователно, 295 дни по-късно Слънцето ще е на разстояние $360^\circ - 290.8^\circ = 69.2^\circ$ приблизително на запад от началното положение. Това е и приблизителното ъглово разстояние между звездите A и B. (2т.)

Г) На 2 януари, при пълнолуние, ъгълът Слънце (S) – Земя (E) – Луна (L) е приблизително $180^\circ$. Ако звезда C е на $90^\circ$ от Слънцето (SEC = $90^\circ$), а звезда A е приблизително в посока на Луната (SEA = $180^\circ$), то ъгъл AEC = SEA – SEC = $180^\circ$ – $90^\circ$ = $90^\circ$. В правоъгълния триъгълник AEC имаме страни АЕ = 100 pc, CE = 200 pc. Можем да пресметнем разстоянието AC по Питагоровата теорема (валидна за правоъгълни триъгълници):

(3т.)