НОА 2024, I кръг (общински), 9–10 клас — Задача 3. Новогодишен маратон

• А) 16 пъти

  Без отчитане на движението на Земята около Слънцето: 24 ч. × 60 мин. / 90 мин. = 16 обиколки, т.е. 16 пресичания. С отчитане на орбиталното движение на Земята станцията прави 15 обиколки относно линията на 0 часа, но при подходящ начален момент пак пресича линията 16 пъти.

• Б) При опростеното допускане за точно 90-минутен период – да, на всяка втора обиколка, общо 8 пъти. Но тъй като интервалът между две посрещания е малко по-дълъг от 90 минути ($\mathrm{P}' \approx 90$ min 0.92 sec), в действителност това може да се случи най-много само един път или нито веднъж.

Решение:

В наше време Международната космическа станция (МКС) се движи по своята орбита в същата посока, в която става околоосното въртене на Земята. Ще предположим, че след промяната на равнината на нейната орбита посоката на движение на станцията пак остава същата по отношение на въртенето на Земята – от запад на изток.

Нека първо да си отговорим на въпроса къде по Земята най-рано настъпва Новата година по местно слънчево време, или къде най-рано настъпва моментът $0^\mathrm{h}00^\mathrm{m}00^\mathrm{s}$ на 1 януари. Това би трябвало да се случва точно на 180-градусовия меридиан, наричан още меридиан на смяна на датите. Миг след този момент на запад от въпросния меридиан започва да се появява съвсем тесен сектор от земната повърхност, където вече е Нова година и с течение на времето този сектор се разширява, тъй като 0 часа по слънчево време настъпва все по на запад и по на запад. Относно земната повърхност линията, на която е 0 часа по слънчево време, се движи от изток на запад. След 24 часа тази линия отново съвпада със 180-градусовия меридиан. В този момент на цялото земно кълбо датата е 1 януари. Но колко е часът по слънчево време на самия 180-градусов меридиан? Погледнато откъм източната му страна можем условно да кажем, че е 24 часа на 1 януари – последният миг от тази дата върху земното кълбо. Погледнато откъм западната му страна обаче, можем да кажем, че е 0 часа от 2 януари.

От нашите разсъждения дотук следва, че линията, на която е 0 часа по слънчево време, или все едно, линията, където настъпва Новата година, шества от изток на запад по земното кълбо в продължение на 24 часа. През това време Международната космическа станция прави 24 ч. $\times$ 60 мин. / 90 мин. = 16 обиколки на Земята. Следователно тя пресича тази линия 16 пъти и космонавтите на борда ѝ ще могат да отбележат настъпването на новата година също толкова пъти. Трябва да отбележим, че движението на станцията не се влияе от околоосното въртене на самата Земя. Станцията просто пресича 16 пъти линията Земя-Слънце над земния меридиан, за който в дадения момент е 0 часа по слънчево време.

Това решение, обаче, не е точно. Тук не е отчетено движението на Земята около Слънцето. В действителност ситуацията ще изглежда така, както е показано на следващата фигура.

Нека в даден момент станцията е в положение 1 на схемата и космонавтите посрещат Новата година. Точно след една обиколка около Земята станцията се намира в положение 2. Но Земята се е преместила по своята орбита около Слънцето и станцията не се намира над меридиан, за който е 0 часа. Следващата среща на станцията с такъв меридиан става малко по-късно, когато тя е в положение 3. Следователно интервалът от време между два момента, в които космонавтите отбелязват настъпването на Новата година, е малко по-дълъг от 90 минути. За времето от 24 часа, през което линията, на която е 9 часа, прави своята обиколка около цялото земно кълбо, станцията ще извърши малко по-малко от 16 обиколки около Земята относно тази линия и ще я пресече 15 пъти. Но ако космическата станция се намира точно над 180-градусовия меридиан, когато там е 0 часа по слънчево време на 1 януари или съвсем малко преди този момент, то за 15 обиколки около Земята тя ще успее да пресече линията на настъпването на Новата година 16 пъти.

Макар това да не е абсолютно необходимо за решаването на задачата, бихме могли да пресметнем периода $\mathrm{P}'$ между два момента, в които космонавтите на борда на станцията посрещат Новата година по формулата:

където $\mathrm{P}$ е орбиталният период на станцията около Земята, а $\mathrm{T}_0$ е периодът на движение на Земята около Слънцето.

Нека за простота да приемем, че границите на часовите полюси са прекарани през 1 час по географска дължина точно по съответните земни меридиани. Космонавтите биха могли да посрещнат Новата година заедно с жителите на даден часови пояс, само ако прелитат над неговия централен меридиан точно когато там е 0 часа по слънчево време. Нека първо приемем, че времето между две преминавания на станцията през линията на настъпване на Нова година е точно 90 минути. За такова време въпросната линия ще се премести на един и половина часови пояса и станцията ще се окаже над граничния меридиан между два часови пояса. След още един период от 90 минути станцията ще бъде над централния меридиан на часови пояс, намиращ се на 2 часа по географска дължина след първия часови пояс. Следователно така космонавтите ще посрещат Новата година заедно с жителите на Земята на всяка втора своя обиколка, или общо 8 пъти. Но трябва да отчетем факта, че след първото посрещане на Новата година заедно с жителите на Земята, космонавтите ще прелетят отново над линията, на която е 0 часа, след малко повече от 90 минути. За такова време линията, на която е 0 часа, ще се придвижи на малко повече от един и половина часови пояса. Оттук следва, че е възможно космонавтите да посрещнат Новата година по слънчево време заедно с жителите на Земята от съответната територия, над която прелитат, най-много само един път или нито веднъж. Задачата силно се усложнява, ако отчетем официално очертаните граници на часовите пояси, които не следват земните меридиани. Тук не отчитаме също и уравнението на времето.

Критерии за оценяване (общо 10 т.):

• За правилни разсъждения при какви условия космонавтите от станцията посрещат Новата година по слънчево време – 2 т.
• За правилни разсъждения кога настъпва следващото посрещане на Новата година – 2 т.
• За за правилен извод колко пъти космонавтите биха могли да посрещнат Новата година – 3 т.
• За съобразяване на възможността Новата година да бъде посрещната не 15, а 16 пъти – 1 т.
• За правилни разсъждения относно възможността космонавтите да посрещнат Новата година заедно с жителите на територията, над която прелитат – 2 т.
• Забележка: Да се оценява и решението без отчитане на ефекта от движението на Земята около Слънцето при правилни по-нататъшни разсъждения, но в такъв случай общата оценка да се намалява с 3 т.