НОА 2024, I кръг (общински), 9–10 клас — Задача 4. Четири спътника на Уран
XXVII Национална олимпиада по астрономия 2024, I кръг, ученици от 9-10 клас · 10 т.
Условие
Уран има 27 известни спътника, повечето от които носят имена на герои от произведения на Уилям Шекспир и Александър Поуп. Спътниците на Уран, за които се споменава в тази задача, се движат по кръгови орбити.
А) Спътникът Ариел има радиус на орбитата 191 000 km и орбитален период 2.52 дни. Пресметнете скоростта на Ариел по орбитата в километри за секунда. [2 т.]
Б) Спътникът Умбриел има радиус на орбитата 266 300 km. Пресметнете орбиталния период на Умбриел около Уран. Упътване: Сравнете с Ариел. Използвайте 3-и закон на Кеплер. [2 т.]
В) Спътникът Титания има радиус 788 километра и средна плътност 1.71 пъти по-висока от плътността на водата при нормални условия. Колко пъти по-малка е масата на Титания от тази на Луната? Радиусът на Луната е 1738 километра, а средната ѝ плътност е 3.34 g/cm. [3 т.]
Г) Спътникът Оберон има радиус 761 километра и маса 194 000 пъти по-малка от тази на Земята. Колко пъти по-малко ще тежи космонавт на повърхността на Оберон, отколкото на Земята? [3 т.]
Отговори
А) 5.51 km/s
km/d = 5.51 km/s.
Б) 4.15 дни
d = 4.15 d.
В) 20.96 пъти по-малка
, т.е. около 21 пъти по-малка.
Г) 2770 пъти по-малко
С дадените (грешни) данни: при km. Авторите отбелязват, че входната стойност в условието е грешна – трябва да бъде 1940 вместо 194 000 – и тогава верният резултат е 1/27.7. Подусловието се оценява с пълните 3 точки при правилни съображения, независимо от числената стойност.
Решение
Решение:
А) Скоростта v на спътник по кръгова орбита с радиус r е равна на обиколката, разделена на периода T. За Ариел:
(2т.)
Б) За спътник с радиус на орбитата r и орбитален период T около планета с маса M важи III Закон на Кеплер:
Сравняваме Ариел с Умбриел (масата на Уран е една и съща в двете уравнения) като делим почленно и получаваме
Орбиталният период на Умбриел около Уран е приблизително 4.15 дни. (2т.)
В) Водата при нормални условия има плътност 1 g/cm, т.е. средната плътност на Титания е g/cm.
Масата на тяло с плътност и обем V е
Обемът на сфера с радиус R е
Заместваме и получаваме
Сравняваме Титания с Луната като делим почленно горното уравнение за двете и получаваме
Масата на Титания е около 21 пъти по-малка от тази на Луната. (3т.)
Г) Гравитационното ускорение на повърхността на планета или сферично тяло с маса M и радиус R е
За земната повърхност m/s.
Сравняваме Оберон със Земята като разделяме почленно горното уравнение за Оберон и за Земята:
Тъй като силата на тежестта е
Толкова пъти () по-тежък ще е обект на повърхността на Оберон спрямо повърхността на Земята. За изчислението използваме средния радиус на Земята 6370 km. При дадените стойности получаваме 1/2770, но входната стойност в условието е грешна – трябва да бъде 1940 вместо 194000, така че верният резултат е 1/27.7 (на Оберон ще тежим 27.7 пъти по-малко). Указание за проверяващите: подусловие Г) се оценява с пълните 3 точки при правилни съображения на участника, независимо от получените числени стойности! (3т.)
Оригинал в Архива: 24-I-910.pdf · официални решения: a24-I-910.pdf