Съдържание

НОА 2024, II кръг (областен), 11–12 клас — Задача 1. От нищо – нещо

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2024

XXVII Национална олимпиада по астрономия 2024, областен кръг, възрастова група XI-XII клас · 25 февруари 2024 г. · 12 т.

Условие

Нека да приемем, че една планета се движи по кръгова орбита около звезда. Видимият ъглов диаметър на звездата, за наблюдател от планетата е $\delta = 21'$ (дъгови минути).

Забележка: Величините, които са дадени в текста на някое подусловие, НЕ МОГАТ да бъдат използвани за решаването други подусловия.

Справочни данни:

Гравитационна константа – $6{,}67.10^{-11}\ \mathrm{m^3/kg.s^{-2}}$

А) Ако знаете, че орбиталният период на планетата е $T = 690$ денонощия, то намерете средната плътност на звездата. [4 т.]

Б) Орбиталната скорост на планетата е $V = 18{,}4$ km/s. Намерете каква ще бъде големината на скоростта, с която тази планета ще достигне повърхността на звездата, ако тя изведнъж загуби цялата си скорост и започне да пада по права линия към звездата. [4 т.]

В) Радиусът на планетата е 80 пъти по-малък от този на звездата. Ако знаете, че наклонът на еклиптиката на планетата, спрямо нейния екватор е $\varepsilon = 13°{,}5$ , то пресметнете колко време (изразено като част от орбиталния период на планетата) след момента, в който дискът на звездата започва да залязва за наблюдател на южния полюс, той започва да изгрява за наблюдател на северния полюс. Планетата няма атмосфера. [4 т.]

Отговори

Решение

А) Нека с M да означим масата на звездата, около която планетата се движи, с R – радиуса на тази звезда, а с r – орбиталния радиус:

Съгласно третия закон на Кеплер:

\frac{r^3}{T^2} = \frac{GM}{4\pi^2}

Ако търсената средна плътност е ρ, можем да изразим масата по следния начин:

M = \rho\,\frac{4}{3}\pi R^3

Замествайки в предното уравнение, получаваме:

\frac{r^3}{T^2} = \frac{G}{4\pi^2}\,\rho\,\frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{G\rho R^3}{3\pi}

Използвайки, че:

\delta[\mathrm{rad}] = \frac{2R}{r}

получаваме:

\rho = \frac{24\pi}{G.\delta[\mathrm{rad}]^3.T^2} \approx 1\,400\ \mathrm{g/cm^3}

Б) Нека с M да означим масата на звездата с R нейния радиус, а с r – радиуса на планетната орбита. За дадената ни скорост на планетата можем да запишем:

v = \sqrt{\frac{GM}{r}}

Когато планетата изгуби цялата си орбитална скорост, относно звездата, тя няма кинетична енергия. Нейната механична енергия, в този момент, се състои само от гравитационна потенциална енергия. Можем да изразим тази енергия така:

E_1 = -\frac{GMm}{r}

където m е масата на планетата.

Ако търсената скорост е u, то в момента, в който планетата достига до повърхността на звездата, тя има механична енергия:

E_2 = \frac{mu^2}{2} - \frac{GMm}{R}

Съгласно закона за запазване на енергията:

E_1 = E_2

От тук получаваме, че:

u = \sqrt{\frac{2GM}{R} - \frac{2GM}{r}} = \sqrt{\frac{2GM}{r}\frac{r}{R} - \frac{2GM}{r}} = V\sqrt{2\left(\frac{r}{R}-1\right)}

Отчитайки, че:

\delta[\mathrm{rad}] = \frac{2R}{r}

получаваме:

u = V\sqrt{2\left(\frac{2}{\delta[\mathrm{rad}]}-1\right)} \approx 470\ \mathrm{km/s}

В) Нека с D да означим диаметъра на планетата, с r разстоянието между планетата и звездата и с T – орбиталния период на планетата.

Причината, поради която дискът на звездата не започва да изгрява за северния полюс, в момента, в който започва залезът му за южния е полюс е паралаксът на звездата.

Равнините, в които лежи математическите хоризонти за наблюдателите на северния и южния полюс на планетата отстоят на разстояние D една от друга, защото тези равнини са допирателни към повърхността на планетата в съответните полюси.

Ъгловото отстояние между двата хоризонта е:

\alpha = \frac{D}{r} = \frac{\delta}{80} \approx 16''

Схема към решението на задача 1В: двата математически хоризонта (1) и (2), еклиптиката с наклон ε, точките A и B и ъгловото отстояние α.

За търсения интервал от време (t), звездата изминава по еклиптиката дъга с ъглова мярка AB (както е показано на схемата).

За ъгловата мярка на AB можем да запишем:

AB = \frac{\alpha}{\sin(\varepsilon)} \approx 67''

Следователно:

\frac{t}{T} = \frac{AB}{360°} \approx 5{,}2.10^{-5}

Критерии за оценяване (общо – 12т):

А) – 4т

За правилна математическа постановка, чрез която се достига до израз за средната плътност на звездата само, чрез дадените величини – 3т.
За правилен краен буквен израз и краен числен резултат – 1т.

Б) – 4т.

За правилна математическа постановка, чрез която се достига до израз за търсената скорост само, чрез дадените величини – 3т.
За правилен краен буквен израз и краен числен резултат – 1т.

В) – 4т.

За намиране на денонощния паралакс на планетата – 1т.
За правилни геометрични съображения, чрез които се намира търсеното време – 2т.
За правилен краен буквен израз и краен числен резултат – 1т.

Оригинал в Архива: 24-II-1112.pdf · официални решения: a24-II-1112.pdf