НОА 2024, II кръг (областен), 11–12 клас — Задача 2. Пришълец

• А) $v_{II} = \sqrt{\frac{2GM}{r_p}} \approx 83{,}364\ \mathrm{km/s} < v_p = 87{,}71\ \mathrm{km/s}$

  Скоростта в перихелия надвишава параболичната скорост на същото разстояние, следователно орбитата е хиперболична и астероидът не принадлежи на Слънчевата система.

• Б) $v = \sqrt{v_p^{2} - v_{II}^{2}} \approx 27{,}27\ \mathrm{km/s}$

• В) Не е възможно. За да е тръгнал от околностите на Вега, отношението на скоростите му и на Вега трябва да е $XS/XV \approx 9{,}8$, а в действителност $v/v_v \approx 1{,}45$.

  Пълната пространствена скорост на Вега е $v_v \approx 18{,}846$ km/s, а скоростта на астероида далеч от Слънцето – $v \approx 27{,}27$ km/s.

Първо трябва да намерим параболичната скорост на разстояние от Слънцето $r_p$, равно на разстоянието от Слънцето до обекта в перихелия на неговата орбита. Означаваме масата на Земята с $M$, гравитационната константа с G, превръщаме даденото ни разстояние от астрономически единици в метри и получаваме:

Скоростта на астероида в перихелия е $v_p = 87.71$ km/s и очевидно надвишава параболичната скорост. Астероидът прелита през перихелия на своята орбита със скорост по-голяма от минималната скорост, която му е необходима, за да преодолее гравитационното притегляне на Слънцето и да напусне завинаги Слънчевата система. Това означава, че той се движи по хиперболична орбита и действително е „пришълец“ от междузвездното пространство, който е прелетял покрай нашето Слънце и отново се е отправил в своето странстване между звездите.

Поради гравитационното въздействие на Слънцето скоростта на астероида ще намалява при отдалечаването му от нашата звезда и по-нататъшното му пътешествие. За да намерим каква ще бъде неговата скорост v, когато се отдалечи на разстояние r, много по-голямо от $r_p$, можем да използваме закона за запазване на енергията:

където m е масата на астероида. Тъй като $r \gg r_p$ , пренебрегваме последния член в дясната страна на уравнението и получаваме

Означаваме с $\mu = 0.35''$/год. собственото движение на Вега, с $v_R$ лъчевата ѝ скорост и с $v_\tau$ нейната тангенциална скорост. Първо нека намерим тангенциалната скорост на Вега. Ако $r_v = 25$ ly е разстоянието от Слънцето до Вега, то нейната тангенциална скорост ще бъде:

Тук превръщаме собственото движение от дъгови секунди за година в радиани за година, като го разделяме на 206265 (броя на дъговите секунди в един радиан). Умножаваме го по разстоянието до Вега в светлинни години. Така бихме получили скоростта в единици светлинни години за година. Но тази величина ни показва всъщност какво е отношението на търсената скорост към скоростта на светлината (тя е една светлинна година за година време). За да получим тангенциалната скорост в километри за секунда, просто трябва да умножим получения резултат по скоростта на светлината в същите единици (300 000 km/s). Така намираме:

Пълната пространствена скорост на Вега ще бъде:

На схемата с S е означено положението на Слънцето, а с V – положението на Вега в наше време. Разстоянието до нея е SV = $r_v$. Ъгълът $\alpha$ между зрителния лъч от земния наблюдател и пълната скорост на Вега ще бъде:

С A на схемата е означена точката от траекторията на Вега, през която тя ще прелети на минимално разстояние от Слънцето. По-нататък намираме:

Астероидът Оумуамуа е долетял при нас от направление, което отстои на ъгъл $\delta. = 5°$ от посоката към Вега. За да произхожда този астероид от близките околности на Вега, неговата траектория трябва да се пресича с траекторията на Вега в някаква точка в миналото, или по-точно да започва от тази точка. На схемата тази точка е означена с X. От момента, в който астероидът е напуснал околностите на Вега, до момента на прелитането му покрай Слънцето, астероидът е изминал отсечката XS, а Вега е изминала отсечката XV. Можем да намерим дължините на тези отсечки:

Вега и астероидът трябва да изминат отсечките XV и XS за едно и също време. Отношението на тези две разстояния е:

Оттук следва, че скоростта на астероида трябва да е почти 10 пъти по-голяма от скоростта на Вега. Но отношението на тези две скорости в действителност е:

Оттук заключаваме, че Оумуамуа не може да произхожда от близките околности на Вега. За да е изпълнено това, би трябвало ъгълът $\delta$ да е значително по-голям. Освен това траекторията на астероида трябва да е разположена така, че да лежи в равнината, определена от положението на Слънцето и траекторията на Вега.

Критерии за оценяване (общо 12 т.):

• За обосновано доказателство, че астероидът не принадлежи към Слънчевата система – 2 т.
• За определяне на скоростта на астероида след отдалечаването му от Слънцето на голямо разстояние – 5 т.
• За разсъждения и пресмятания относно предположението астероидът да произхожда от близките околности на Вега – 4 т.
• За правилно заключение – 1 т.