НОА 2024, II кръг (областен), 7–8 клас — Задача 5. Пепеляшка

• А $v = \frac{a}{\Delta t} \approx 370{.}6\ \mathrm{km/h}$

  $\Delta t = \Delta t_1 + \Delta t_2 = 4\ \mathrm{min}\,30\ \mathrm{s} + 3.596\ \mathrm{min} = 8.096$ min; $\Delta\lambda \approx 0.899^\circ$.

• Б Орион – ДА; Кентавър – НЕ; Голяма мечка – ДА; Колар – ДА; Орел – НЕ.

  Голямата мечка е незалязваща за 60° с.ш.; Орион и Колар са зимни изгряващи и залязващи съзвездия; Орел вече е залязъл към полунощ през декември; Кентавър е неизгряващо съзвездие на тази ширина.

Решение:

След като е видяла часовника в двореца да показва 23:55 ч., Пепеляшка е изтичала до каляската за 30 секунди, което означава, че е тръгнала за дома си в 23:55:30 ч. До полунощ по този часовник остава интервал от време $\Delta t_1 = 4\ \mathrm{min}\,30\ \mathrm{sec}$. Дворецът се намира на 60-градусовия паралел, който е с двойно по-малка дължина от земния екватор. Ако означим земния радиус с R, то дължината на този паралел е:

Домът на пепеляшка се намира на разстояние a = 50 km от двореца в посока запад, което означава, че той е на същия паралел, на който е дворецът. Разликата между географските дължини на двореца и на дома на Пепеляшка ще бъде:

Можем да приемем, че дворцовият часовник е настроен по поясното време на часовия пояс, в който е разположен дворецът. В условието е казано, че дворецът се намира на централния меридиан на часовия пояс и това означава, че местното слънчево време за двореца съвпада с поясното време. Домът на Пепеляшка е на запад от двореца и следователно там полунощ ще настъпи по-късно. Можем да намерим колко време по-късно ще стане това:

Оттук следва, че времето, с което Пепеляшка разполага, за да се върне с каляската в къщи, преди тя да се превърне отново в тиква, е:

Сега вече можем да намерим минималната скорост, с която трябва да се движи каляската:

След като пристигне до дома си по средата на нощта и датата 25 декември, Пепеляшка би могла да види Голямата мечка, понеже тя е незалязващо съзвездие за 60° северна ширина, а също Орион и Колар, тъй като тези съзвездия се виждат през зимните нощи и са изгряващи и залязващи за съответната географска ширина. Не би могла да види съзвездието Орел, защото то се вижда на лятното и есенното небе, а към полунощ през декември вече ще е залязло. Съзвездието Кентавър (Центавър) не е възможно да се вижда, защото на тази географска ширина то е неизгряващо съзвездие от южното небе.

Критерии за оценяване (общо 12 т.):

За пресмятане на времето, което остава от слизането на Пепеляшка при каляската до полунощ по дворцовия часовник – 1 т.

За правилен метод за пресмятане на интервала от време, с който разполага Пепеляшка, за да стигне до дома си преди там да е настъпила полунощ – 4 т.

За правилен числен отговор – 1 т.

За намиране на скоростта на каляската – 1 т.

За верни отговори дали ще се виждат петте дадени съзвездия и обяснение 5 × 1т. = 5 т.