НОА 2024, II кръг (областен), 9–10 клас — Задача 2. Луна и обсерватория

• А $X = \frac{l_2}{l_1}\cdot\frac{d}{D}\cdot r \approx 16\ \text{km}$

  Числената стойност зависи от измерванията върху разпечатката ($l_1 \approx 40$ mm за $d$, $l_2 \approx 62$ mm за диаметъра на Луната); авторите изрично допускат разлики поради настройките на печатащото устройство.

• Б Не.

  Февруарското пълнолуние е в съзвездието Лъв и има по-ниска деклинация от януарското, затова изгрява от друга точка на хоризонта.

• В надясно

  Наблюдателят гледа приблизително на изток, така че югът е надясно; по-ниската деклинация измества точката на изгрев на юг, т.е. надясно.

Решение:

А) Нека да означим търсеното разстояние с X, диаметъра на Луната с D, а разстоянието между Земята и Луната (което ще приемем, че равно на разстоянието между Луната и наблюдателя) в този момент с r.

С линийка измерваме, че дадената ни отсечка, която съответства на d=90m има размер $l_1 = 40$mm върху листа. Също така, измерваме, че диаметърът на Луната има размер $l_2 = 62$mm на даденото ни изображение.

Размерите на обектите по снимката са пропорционални на техните видими ъглови размери за наблюдателя. Видимият размер на Луната можем да изразим като:

Видимият ъглов размер на обсерваторията Magellan може да се изрази така:

Съгласно казаното:

От тук намираме, че:

Следователно:

При проверката трябва да се има предвид, че точните стойности на $l_1$ и $l_2$ могат да се различават от дадените тук, поради различните настройки на печатащото устройство.

Б) При фаза пълнолуние, Луната се намира в противоположната на Слънцето точка от небесната сфера (или много близо до тази точка). Следователно, ако пренебрегнем наклона на лунната орбита по еклиптиката, то Луната би трябвало да се намира в противоположното съзвездие на това, в което е Слънцето. Понеже снимката е направена на 25 януари, то Луната се намира в тази точка от еклиптиката, в която е Слънцето в края на месец юли. Тази точка е в съзвездието Рак. След един синодичен месец, когато Луната пак ще бъде във фаза пълнолуние, тя ще се наблюдава в следващото по посока на годишното движение на Слънцето съзвездие, а именно Лъв. Важното в случая е, че тя ще има по-ниска деклинация, отколкото по време на януарското пълнолуние. Положението на точката от която едно небесно светило изгрява зависи само от положението на това светило спрямо небесния екватор, т.е. то неговата деклинация. Следователно, ако наблюдателят се намира на същото място, от което е заснел дадения кадър, то той няма да наблюдава изгрева на следващото пълнолуние от същото място по хоризонта, т.е. няма да може да заснеме същия кадър и през следващия месец.

В) Наблюдавайки изгрев (независимо на кое небесно тяло) наблюдателят би следвало да е обърнат приблизително в източна посока. Това означава, че посоката юг за него е надясно. И тъй като по време на пълнолунието през февруари, Луната ще има по-ниска деклинация отколкото през януари, то точката на нейният изгрев ще бъде отместена надясно, спрямо положението, в което Луната е заснета на кадъра.

Критерии за оценяване (общо – 12т):

А) – 6т

- За измервания от изображението – 1т.

- За правилна математическа постановка и верен краен израз – 4т.

- За верен числен отговор – 1т.

Б) – 4т

- За правилно съображения относно съзвездието, в което се намира Луната на 25 януари – 2т.

- За правилни съображения за това, че по време на следващото пълнолуние Луната ще има по-ниска деклинацията – 2т

- За правилен, че точката на изгрев няма да е същата – 2т.

В) – 2т.

- За правилни разсъждения относно това как по-ниската деклинация променя положението на точката на изгрев и правилен извод – 2т.