НОА 2024, IV кръг, Старша възраст — Задача 1. Изгрев на астероид

• $t_1 = 1.446 \times 10^{-2}\ \mathrm{s},\ t_2 = 1.058 \times 10^{-2}\ \mathrm{s},\ t_3 = 1.310 \times 10^{-2}\ \mathrm{s},\ t_4 = 1.145 \times 10^{-2}\ \mathrm{s}$

  t₁, t₂ — орбита в равнината на еклиптиката (i = 0°), права и обратна посока; t₃, t₄ — орбита, перпендикулярна на еклиптиката (i = 90°), права и обратна посока. При есенно равноденствие стойностите са същите.

Решение.

Ще приемем земната орбита за кръгова. Орбиталната скорост на Земята е $v_E = \sqrt{\frac{GM_\odot}{r_E}} = 29.79\ \mathrm{km/s}$. Перихелийното разстояние за астероида е $r_p = a(1-e) = 1.02\ \mathrm{AU}$. Тъй като той е в опозиция, разстоянието му до Земята е $r = r_p - r_E = 0.02\ \mathrm{AU}$. Перихелийната скорост на астероида е $v_p = \sqrt{\frac{GM_\odot}{a}\frac{1+e}{1-e}} = 41.50\ \mathrm{km/s}$. Относителната му скорост спрямо Земята обаче ще зависи от конкретната конфигурация помежду им.

Нека означим ъгловата скорост на Земята с $\omega_E$. При звездно денонощие $T_E = 23\ \mathrm{h}\ 56\ \mathrm{m}$ големината ѝ ще се задава с $\omega_E = \frac{2\pi}{T_E} = 7.29 \times 10^{-5}\ \mathrm{rad/s}$. Продължителността на изгрева се определя от това колко време отнема на равнината на хоризонта на наблюдателя да се измести в пространството дотолкова, че да задмине астероида. Това изместване идва от наслагването на два ефекта – околоосното въртене на Земята и орбиталното ѝ движение. Ще разглеждаме движението на равнината на хоризонта само в околностите на астероида. Тъй като посоката на $r$ и ориентацията на земната ос в равноденствие са перпендикулярни, пространствената скорост на точките от тази равнина в околностите на астероида (поради въртене) ще бъде точно $v_r = \omega_E r = 218.19\ \mathrm{km/s}$. Тя ще е насочена под ъгъл $\varepsilon$ спрямо еклиптиката. Отделно от това, равнината има и транслация със скорост $v_E = 29.79\ \mathrm{km/s}$, която е насочена по еклиптиката.

Сега да преминем към разглеждането на възможните случаи. Ще чертаем движението на астероида, гледано откъм Слънцето. Хоризонталното направление по чертежите ще съответства на равнината на еклиптиката, а направлението нагоре ще е към северния еклиптичен полюс. Ще вземем астероида за сфера с диаметър $D = 3\ \mathrm{km}$. Вариантите идват от това дали астероидът се движи в равнината на еклиптиката или перпендикулярно на нея, дали движението му е в права или обратна посока и дали равноденствието е пролетно или есенно.

I случай (пролетно равноденствие, права посока, наклон на орбита $i = 0^{\circ}$) изглежда така:

Изгревът приключва, когато равнината на хоризонта $l$ задмине астероида. За да намерим съответното време, трябва да разгледаме компонентите на скоростите перпендикулярно на $l$. В случая скоростта, с която $l$ настъпва към астероида, е $v_r - (v_p - v_E)\cos\varepsilon$. Тогава времето е

II случай (пролетно равноденствие, обратна посока, наклон на орбита $i = 0^{\circ}$) има същия чертеж, но $v_p$ е наобратно. Това е същото като астероидът да има скорост $-v_p$ в направлението от предния случай. Съответно ще бъде вярно да използваме същата формула, но в нея да сменим $v_p$ с $-v_p$. В резултат

III случай (пролетно равноденствие, права посока, наклон на орбита $i = 90^{\circ}$) се описва така:

Общата относителна скорост спрямо правата $l$ сега е $v_r - v_p\sin\varepsilon - v_E\cos\varepsilon$, откъдето

IV случай (пролетно равноденствие, обратна посока, наклон на орбита $i = 90^{\circ}$) е същият, но отново със сменена посока на $v_p$. При него имаме

В случаите V-VIII (есенно равноденствие) ориентацията на хоризонта е друга:

Проекциите на скоростите спрямо $l$ тогава обаче остават същите, тоест множителите $\cos\varepsilon$ и $\sin\varepsilon$ не се променят. От тези четири случая няма да получим различни стойности за продължителността на изгрева, така че няма нужда да ги разглеждаме.

Никола Каравасилев, реш. Стефан Иванов

Критерии за оценяване (общо 15 т.):

• За пресмятане на земната орбитална скорост, за перихелийната скорост на астероида, за разстоянието Земя-астероид, за ъгловата скорост на Земята – 5 т.
• За разглеждане на вариантите с орбитално движение на астероида само в едната посока (напр. права), правилна геометрична постановка и верни крайни резултати – 8 т.
• За разглеждане на вариантите с орбитално движение на астероида и в двете посоки, до достигане на крайни резултати – 2 т.