Съдържание

НОА 2024, IV кръг, Старша възраст — Задача 2. Повърхностна фотометрия на NGC 7217

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2024

XXVII Национална олимпиада по астрономия, подборен кръг, 10 юли 2024 г., Варна, практически тур, старша възраст · 10 юли 2024 г. · 20 т.

Условие

Задача 2. Повърхностна фотометрия на NGC 7217. Повърхностната фотометрия на галактики е астрономически метод, чрез който се изследва разпределението на светлината в различните части на галактиките. Получените данни могат да се използват за анализиране разпределението на светещата маса, изчисляване на геометрични параметри на галактиката, както и изследване на цялостната ѝ структура.

При протяжни обекти се дефинира величината повърхностна яркост $\mu$ , която се измерва в звездни величини на квадратни дъгови секунди [mag/arcsec $^2$ ]. В сила е следната връзка между $\mu$ и интензитета $I$ [(W/m $^2$ )/arcsec $^2$ ] в дадена точка:

\mu = \mu_0 + 2.5\lg\left(\frac{I_0}{I}\right),

където $\mu_0$ и $I_0$ са калибровъчни константи. Законите, които описват $I(R)$ , където $R$ е разстоянието от центъра на галактиката, са различни за двете компоненти на спирална галактика – балджът и дискът. За балджа е в сила законът на Де Вокульор

\lg\left(\frac{I}{I_e}\right) = -3.331\left[\left(\frac{R}{R_e}\right)^{1/4} - 1\right], \quad \text{еквивалентно на} \quad \mu(R) = \mu_{0,\text{bulge}} + 8.327\left[\left(\frac{R}{R_e}\right)^{1/4} - 1\right],

където $I_e$ , $R_e$ и $\mu_{0,\text{bulge}}$ са неизвестни параметри на галактиката за балджа. За диска на галактиката е в сила друг експоненциален закон

I = I_0 e^{-R/h}, \quad \text{еквивалентно на} \quad \mu(R) = \mu_{0,\text{disk}} + 1.086\left(\frac{R}{h}\right),

където $I_0$ и $\mu_{0,\text{disk}}$ са неизвестни параметри на галактиката за диска.

Разполагате с таблица с истински наблюдателни данни, получени за спиралната галактика NGC 7217 в съзвездието Пегас. В таблицата са представени повърхностите яркости $\mu$ в [mag/arcsec $^2$ ] спрямо разстоянията $R$ от центъра на галактиката в парсеци [pc].

Таблица 1

$R$ [pc]	$\mu$ [mag/arcsec $^2$ ]	$R$ [pc]	$\mu$ [mag/arcsec $^2$ ]	$R$ [pc]	$\mu$ [mag/arcsec $^2$ ]
11174	22.84	4761	20.84	777	18.32
10591	22.71	4178	20.64	583	17.96
10008	22.74	3595	20.54	388	17.52
9425	22.30	3012	20.10
8842	22.30	2429	19.82
8259	22.03	1943	19.57
7676	21.80	1749	19.43
7093	21.64	1554	19.28
6510	21.55	1360	19.07
5927	21.40	1166	18.85
5344	21.17	971	18.60

Справочни данни:

Маса на Слънцето	$M_\odot = 1.99 \times 10^{30}\,\text{kg}$
Светимост на Слънцето	$L_\odot = 3.86 \times 10^{26}\,\text{W}$

а Начертайте графика на зависимостта $\mu(R)$ по данните от таблицата и от нея оценете радиуса на балджа $R_\mathrm{b}$ . [5 т.] [5 т.]

б Приемете, че яркостта на NGC 7217 се описва добре от закона на Де Вокульор за балджа и от експоненциалния закон на диска.

Начертайте отделна графика на зависимостта само за балджа в подходящи променливи. От нея определете параметрите $R_e$ и $\mu_{0,\text{bulge}}$ . [5 т.]

Указание: Намерете помощни променливи $x$ и $y$ , зависещи съответно от $R$ и $\mu$ , за които законът на Де Вокульор предвижда, че зависимостта $y(x)$ е линейна. Ако начертаете графика в такива променливи, точките ви би трябвало да се разполагат на права линия, чийто наклон ще е свързан с търсените в задачата параметри. [5 т.]

в Начертайте отделна графика на зависимостта само за диска в подходящи променливи. От нея определете параметрите $h$ и $\mu_{0,\text{disk}}$ . [5 т.] [5 т.]

г За $I_0$ и $I_e$ може да използвате експериментално установените формули

\lg\left(I_0[\text{W/m}^2]\right) = 14.50^\mathrm{m}/\text{arcsec}^2 - \mu_{0,\text{disk}},

\lg\left(I_e[\text{W/m}^2]\right) = 15.94^\mathrm{m}/\text{arcsec}^2 - \mu_{0,\text{bulge}}.

Пресметнете $I_0$ и $I_e$ . [1 т.] [1 т.]

д Пълната светимост $L$ на галактиката е сума от светимостите на диска и балджа и се задава с формулата

L = 2\pi(3.607 I_e R_e^2 + I_0 h^2).

Пресметнете $L$ за NGC 7217. [1 т.] [1 т.]

е На Фигура 3 е дадена графика на ротационните скорости $v$ на звезди от галактиката при различни разстояния от центъра $R$ .

Фигура 3

Използвайте графиката, за да определите масата на галактиката $M$ . Така определете отношението $M/L$ (mass-to-light ratio) в мерни единици [M $_\odot$ /L $_\odot$ ]. [3 т.] [3 т.]

Отговори

Решение

Решение.

а) Нанасяме данните от таблицата на графика за $\mu(R)$ .

Графика по данните от Таблица 1: ординатата е повърхностната яркост (осите са надписани „m [m/arcsec²]“ и „R[pc]“), обърната така, че стойностите растат надолу от 18 до 23.

Обръщаме внимание графиката да се разполага върху достатъчно голяма площ, осите да са оразмерени и мащабът да е избран добре. От определено разстояние $R$ нататък по графиката ще се вижда ясно изразена линейна зависимост, която съответства на диска на галактиката. Така определяме

R_{\text{bulge}} = \mathbf{(2200 \pm 400)\ pc}.

б) След като имаме радиуса на балджа, разпределяме данните на две части. За балджа имаме общо 9 точки. Ако изберем да чертаем $y = \mu$ спрямо $x = R^{1/4}$ , законът на Де Вокульор предвижда зависимост от вида $y = ax + b$ , където $a = \frac{8.327}{R_e^{1/4}}$ и $b = \mu_{0,\text{bulge}} - 8.327$ .

Начертаваме графиката и прекарваме най-добрата права през точките. Измерваме наклона ѝ и получаваме $a = 0.94\,\text{pc}^{-1/4}$ , а от точката на пресичане с оста $y$ взимаме $b = 13.34\,\text{mag/arcsec}^2$ .

Графика за деветте точки на балджа с прекарана най-добра права; осите са надписани „m [m/arcsec²]“ и „R^{1/4} [pc]“ и зависимостта е линейна.

В резултат $\mu_{0,\text{bulge}} = \mathbf{21.67\ mag/arcsec^2}$ и $R_e = \mathbf{6130\ pc}$ .

в) За диска изборът на променливи е просто $y = \mu$ и $x = R$ , при което очакваме $a = \frac{1.086}{h}$ и $b = \mu_{0,\text{disk}}$ . Начертаваме графиката:

Графика за точките на диска с прекарана най-добра права; осите са надписани „m [m/arcsec²]“ и „R [pc]“.

От нея намираме $\mu_{0,\text{disk}} = \mathbf{19.23\ mag/arcsec^2}$ и $h = \mathbf{3210\ pc}$ .

г) Пресмятаме $I_e$ и $I_0$ :

I_e = \mathbf{1.89 \times 10^{-6}\ W/m^2} \qquad \text{и} \qquad I_0 = \mathbf{1.80 \times 10^{-5}\ W/m^2}.

д) По дадената формула намираме:

L = \mathbf{2.66 \times 10^{36}\ W}.

е) Определяме, че на разстояние $R = 10\,\text{kpc}$ скоростта е $v = 250\,\text{km/s}$ . С това получаваме масата $M$ :

M = \frac{v^2 R}{G} \approx 2.90 \times 10^{41}\,\text{kg} \approx \mathbf{1.5 \times 10^{11}\ M_\odot}.

Съответно отношението $M/L$ е около $\mathbf{20\ M_\odot/L_\odot}$ .

Иван Попов

Критерии за оценяване (общо 20 т.):

– За добре изпълнена графика	4 т.
– За оценка за радиуса на балджа	1 т.
– За начертаване на графика за балджа	1 т.
– За правилно избрани оси, при които зависимостта е линейна	2 т.
– За стойност на $R_e$	1 т.
– За стойност на $\mu_{0,\text{bulge}}$	1 т.
– За начертаване на графика за диска	2 т.
– За правилно избрани оси, при които зависимостта е линейна	1 т.
– За стойност на $h$	1 т.
– За стойност на $\mu_{0,\text{disk}}$	1 т.
– За стойност на $I_0$	0.5 т.
– За стойност на $I_e$	0.5 т.
– За стойност на $L$	1 т.
– За намиране на $M$	2.5 т.
– За пресмятане на $M/L$	0.5 т.

Редакция на темата: Стефан Иванов

Оригинал в Архива: 24-IV-praktST.pdf · официални решения: a24-IV-praktST.pdf