Съдържание

НОА 2025, IV кръг, Младша възраст — Задача 2. Голямото луностоене

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2025

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА · НАЦИОНАЛНА КОМИСИЯ ЗА ОРГАНИЗИРАНЕ НА ОЛИМПИАДАТА ПО АСТРОНОМИЯ · XXVIII НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИЯ · Подборен кръг, 13 юли 2025 г., Варна, практически тур · Младша възраст · 13 юли 2025 г.

Бележка

Предайте този лист заедно с решенията си!

Условие

Двама канадски любители астрофотографи започват през 2022 година проект по заснемане на най-голямото от 18 години „луностоене“. Те имат намерение да заснемат поотделно изгревите на Слънцето и на Луната, по един за всеки месец, по време на пълнолуние или много близо до него, в периода от лятното слънцестоене през 2024 година до лятното слънцестоене през 2025 година. Слънцето се вижда ясно, но изображенията на Луната са малки бледи кръгчета, а в Приложение 3, което е негативно изображение на нощното небе с Луната, те са малки тъмни кръгчета на по-светъл фон.

Луностоене, по аналогия със слънцестоенето, се нарича максималното отстояние на точката на изгрева на Луната от посоката изток – на юг или на север в зависимост от месеца, през който се наблюдава. През 2024 и 2025 година максималното луностоене е много близо до дните на слънцестоене, като Луната е във фаза пълнолуние или близо до нея. При това точките на изгрева ѝ са максимално отдалечени от посоката изток.

Разбирайки, че времето в Едмънтън, Канада, невинаги е ясно, те започват снимките още през 2022 година, като ги планират така, че положенията на Слънцето и Луната при изгрев да са максимално близо до пресметнатото им положение за периода от юни 2024 до юни 2025 година. Слънцето е заснемано по възможност на височина 0.5 градуса над хоризонта, веднага след неговия изгрев, а Луната – в пълнолуние, на височина около 2.5 градуса над хоризонта. Резултатът от техните усилия е показан в приложенията. В първото приложение са комбинирани снимките на изгрева на Слънцето и Луната за всеки от 13-те месеца на планирания период. Идеята е да се демонстрира колко далеч от посоката изток може да изгрява Луната, отклонявайки се дори по-далеч от положенията, в които изгрява Слънцето в дните на слънцестоене. Във второто и третото приложение са показани снимките на изгрева на Слънцето и на Луната, поотделно, на фона на панорамата на град Едмънтън.

А) Разпознайте изображенията на Слънцето и Луната върху снимките и ги означете максимално точно с вертикален щрих, достигащ до хоризонта.

Б) Използвайки Приложение 2 с изгревите на Слънцето, определете къде е посоката изток и я означете с линия, която пресича вертикално всички панорамни снимки, на всяко едно от приложенията.

В) Географската ширина на Едмънтън е $53^{\circ}32'$ . Определете азимутите на изгревите на Слънцето и Луната и ги напишете до техните изображения върху всяка една от панорамите в приложенията 2 и 3. Постройте графика на азимутите на изгрева на Слънцето и Луната върху един лист милиметрова хартия, като моментите от време да са месеците, през които са правени снимките. Предварително постройте абсцисата по дължина на листа, начертавайки я от средата на късата страна на милимитровата хартия, и която да започва от азимут $90^{\circ}$ (посока изток).

Упътване: При определяне на азимутите използвайте планиметрично (плоско, равнинно) приближение.

Г) Обяснете защо изгревите на Луната са по-отдалечени от посоката изток, отколкото изгревите на Слънцето. Забелязва се лека асиметрия в разположението на двете графики. На какво, според вас, се дължи тя?

Д) В кои месеци на 2025 година може да се очакват слънчеви или лунни затъмнения?

Е) Ако Луната в момента на юнското луностоене е на разстояние 396 089 km от центъра на Земята, то на какво максимално отклонение от еклиптиката ще я вижда наблюдател от град Едмънтън?

Упътване: Търсеният ефект е много малък. Не използвайте закръглявания в процеса на пресмятанията.

Полезна математика:

В един триъгълник със страни $a$ , $b$ и $c$ и срещулежащи ъгли съответно $A$ , $B$ и $C$ , са верни следните съотношения:

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}

c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos C

a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos A

b^2 = a^2 + c^2 - 2 \cdot a \cdot c \cdot \cos B

Справочни данни:

Наклон на лунната орбита към еклиптиката $i = 5^{\circ}09'$

Наклон на еклиптиката към екватора $\varepsilon = 23^{\circ}26'$

Радиус на Земята $R_E = 6370\ \mathrm{km}$

Решение

Отговори.

А), Б), В) Линията за посоката изток и стойностите за азимутите на Луната и Слънцето са дадени на Фигура А3 и Фигура А4. Посоката изток е намерена като средно положение спрямо крайните позиции на светилата по азимут. Самите азимути се изчисляват, като намерим максималното отклонение $\Delta A_{\max}$ на Слънцето от азимут $90^{\circ}$ (изток) през годината за Едмънтън ( $\varphi = 53^{\circ}32'$ ).

Чертеж в плоско приближение: хоризонтална линия „мат. хоризонт“ с точки C и E, отсечка ΔA_max между тях; наклонена права „екватор“ през E под ъгъл 90°−φ; пунктирана права през C под същия ъгъл; точка B и перпендикуляр от E до B с означение δ☉ = ε. — Фигура А2. Денонощен паралел на Слънцето при максимална деклинация (в пунктир). Изток се бележи с E, а Слънцето изгрява от C. Използвано е плоско приближение.

Правоъгълният триъгълник $ECB$ на чертежа ни дава, че $\sin(90^{\circ} - \varphi) = \varepsilon/\Delta A_{\max}$ . Оттам $\Delta A_{\max} = \varepsilon/\cos\varphi = 39.4^{\circ}$ . Приемаме, че крайното положение на Слънцето по Приложение 2 отстои на $\Delta A_{\max}$ от посоката изток. Отчитаме на колко милиметра съответства това, с което получаваме мащаба на изображението. Оттам нататък с него намираме всички азимути, включително и по Приложение 3.

В) Графиката на азимутите спрямо времето е дадена на Фигура А5.

Г) Причината е в наклона на лунната орбита спрямо еклиптиката. Поради него деклинацията на Луната има по-широк диапазон, а съответно и азимутът.

Д) За да има затъмнение, Луната трябва да е във възел, тоест близо до еклиптиката. А тогава в пълнолуние деклинацията ѝ е противоположна на Слънчевата. По графиката виждаме, че за 2025 г. сме най-лесно до такава ситуация през март. Понеже за една година линията на възлите на лунната орбита не се отмества значително в пространството, очакваме затъмнения и след шест месеца – през септември.

Е) Изчисленията са дадени на Фигура А6. Отговорът е $6^{\circ}04'$ .