Съдържание

НОА 2025, IV кръг, Старша възраст — Задача 4. Почти като судоку

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2025

XXVIII НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИЯ. Подборен кръг, 12 юли 2025 г., Варна, теоретичен тур. Старша възраст · 12 юли 2025 г. · 15 т.

Условие

Прочутият астроном Павел Казаков от Стара Загора ( $\varphi = 42.4^{\circ}\ \mathrm{N}$ , $\lambda = 25.5^{\circ}\ \mathrm{E}$ ) вече не наблюдава звезди от Стара Загора, а от друго място на същия меридиан по северното полукълбо. Гражданското време там е същото, както в България. На 10 май Павел следи по небето две звезди, които остават скрити за всички други наблюдатели. Двете звезди имат горна кулминация на еднаква височина $h = 75^{\circ}$ , но Звезда 1 кулминира на юг от зенита, а Звезда 2 – на север от зенита. Горната кулминация на Звезда 1 става в 19:10 по гражданско време, а тази на Звезда 2 става в 7:10. Ъгловото разстояние между звездите по небето е $90^{\circ}$ .

Павел проследява движението на двете звезди в пространството, измервайки техния паралакс $\pi$ , лъчева скорост $v_r$ , собствено движение по ректасцензия $\mu_\alpha$ и собствено движение по деклинация $\mu_\delta$ . Естествено, той също знае тяхната ректасцензия $\alpha$ , деклинация $\delta$ и видима звездна величина $m$ , както и спектралните им характеристики. Той изчислява, че след време двете звезди ще се окажат много близо една от друга и ще формират тясна двойна система. Според него тогава сумарната им звездна величина по земното небе ще е $m_C = 0.90$ .

Павел ви дава таблица с данни за звездите. Но тъй като все пак сте участници в подборен кръг на олимпиадата, той решава да ви позатрудни и изтрива повечето клетки.

звезда	спектрален клас	$\alpha$	$\delta$	$\pi\ [{}^{\prime\prime}]$	$\mu_\alpha\ [{}^{\prime\prime}/\mathrm{yr}]$	$\mu_\delta\ [{}^{\prime\prime}/\mathrm{yr}]$	$v_r\ [\mathrm{km/s}]$	$m$
1	A2VII			0.100	+1.15		+22.0	11.20
2	K8III			0.050		+1.03		1.20

А) Попълнете таблицата. Обяснете разсъжденията си. [12 т.]

Б) Намерете на какво разстояние $l$ от Стара Загора по земната повърхност стават наблюденията. [1 т.]

В) Помислете и оценете – каква видима звездна величина $m_C'$ може да достигне двойната система в рамките на 10000 години след формирането си? С други думи, разгледайте хипотетичен вариант, в който се реализира максималната възможна яркост. [2 т.]

Приемете, че звездите се движат в пространството с постоянна скорост.

Справочни данни:

Година	$1\ \mathrm{yr} = 3.156 \times 10^{7}\ \mathrm{s}$
Парсек	$1\ \mathrm{pc} = 3.086 \times 10^{13}\ \mathrm{km}$
Астрономическа единица	$1\ \mathrm{au} = 1{,}496.10^{8}\ \mathrm{km}$
Радиус на Земята	$R_E = 6371\ \mathrm{km}$

Отговори

Решение

Решение.

А) Ректасцензията на всяка от звездите е равна на звездното време в момента на нейната горна кулминация. Затова трябва да намерим разликата между звездното време и гражданското време на 10 май за дължина $\lambda = 25.5^{\circ}\ \mathrm{E}$ . Първо обръщаме внимание, че на тази дата се спазва лятно часово време, така че гражданското време е напред с един час спрямо местното средно слънчево време на централния меридиан за съответния часови пояс ( $\lambda = 30^{\circ}\ \mathrm{E}$ ). На централния меридиан времето е с $60\ \mathrm{min} \times \left(\frac{30^{\circ} - 25.5^{\circ}}{15^{\circ}}\right) = 18\ \mathrm{min}$ напред спрямо местното средно слънчево време на меридиана на Стара Загора. Също отбелязваме, че на 10 май местното звездно време е назад спрямо местното средно слънчево време с $\left(\frac{31+30+31+31+12}{365.25}\right) \times 24\ \mathrm{h} = 8\ \mathrm{h}\ 52\ \mathrm{m}$ . И така, звездното време е назад от гражданското общо с 10 h 10 min. Ректасцензиите тогава са $\alpha_1 = \mathbf{9\ h}$ и $\alpha_2 = \mathbf{21\ h}$ .

Нека намерим деклинациите и географската ширина на мястото на наблюдение. За Звезда 1 може да запишем $h = 90^{\circ} - \varphi + \delta_1$ , а за Звезда 2 имаме $h = \varphi + 90^{\circ} - \delta_2$ . Също знаем, че отстоянието между звездите е $90^{\circ}$ . Щом като ректасцензиите се различават с $12^{\mathrm{h}}$ , когато Звезда 1 е в горна кулминация, Звезда 2 ще е в долна кулминация. В такава ситуация може да забележим, че ъгловото отстояние между тях е $180^{\circ} - \delta_1 - \delta_2$ , откъдето $\delta_1 + \delta_2 = 90^{\circ}$ . Същевременно събирането на първите две уравнения дава $\delta_1 + \delta_2 = 2\varphi$ , така че $\varphi = 45^{\circ}$ . Това води до $\delta_1 = \mathbf{+30^{\circ}}$ и $\delta_2 = \mathbf{+60^{\circ}}$ .

По-нататък трябва да използваме информацията, че траекториите на звездите ще се пресекат. Намираме разстоянията до тях, $r_1 = 1/\pi_1 = 10\ \mathrm{pc}$ и $r_2 = 1/\pi_2 = 20\ \mathrm{pc}$ . Сега представяме положението им на диаграма. За да се сблъскат звездите, трябва постоянният вектор на скоростта на едната звезда относно другата да е по направление на отсечката, която свързва звездите в настоящия момент. Това налага условието компонентите на тангенциалната скорост на звездите по ректасцензия $v_\alpha$ да са точно равни. За двете звезди може да изразим $v_\alpha = \mu_\alpha r \cos\delta$ , с което получаваме

\mu_{\alpha 2} = -\mu_{\alpha 1} \frac{r_1}{r_2} \frac{\cos\delta_1}{\cos\delta_2} = \mathbf{-1.00^{\prime\prime}/yr}.

Тук добавеният знак минус указва, че ректасцензията на Звезда 2 би намалявала.

Ако векторът на относителната скорост $v$ е в правилната посока, може да поставим условието

v = \frac{\mu_{\delta 2} r_2 - v_{r1}}{\sin\beta}, \quad \text{където } \tan\beta = \frac{r_1}{r_2}.

Така $v = 169.2\ \mathrm{km/s}$ и съответно времето за сблъсък е $\tau = \sqrt{r_1^2 + r_2^2}/v = 4.08 \times 10^{12}\ \mathrm{s} = 129000\ \mathrm{yr}$ . Да проследим как са се изместили звездите за това време. Едната звезда е с 10 звездни величини по-слаба, въпреки че е два пъти по-близо до нас. Тя няма да дава никакъв отпечатък върху сумарната звездна величина $m_C$ . Затова сравнявайки $m_2$ с $m_C$ , може да намерим как се отнася разстоянието $r_2$ към разстоянието $r_C$ при срещата.

m_2 - m_C = -2.5\lg\left(\frac{r_2}{r_C}\right)^2 \ \Rightarrow\ r_C = 17.5\ \mathrm{pc}.

Сега може да запишем Питагоровата теорема за движението на Звезда 2 от началния момент до срещата:

(r_2 + v_{r2}\tau)^2 + (\mu_{\delta 2} r_2 \tau)^2 + (v_\alpha \tau)^2 = r_C^2.

Знаейки, че $v_\alpha = 47.5\ \mathrm{km/s}$ , бавно и внимателно пресмятаме $v_{r2} = \mathbf{-76.6\ km/s}$ .

Остава да забележим, че сега от условието за сблъсък $v\cos\beta = -(v_{r2} - \mu_{\delta 1} r_1)$ може да извлечем $\mu_{\delta 1}$ . След заместване получаваме $\mu_{\delta 1} = \mathbf{+1.47^{\prime\prime}/yr}$ .

Векторна диаграма: от точка (наблюдателя) на хоризонтална линия с краища 21ʰ и 9ʰ излизат радиус-векторите r₁ към звезда 1 (под ъгъл δ₁) и r₂ към звезда 2 (под ъгъл δ₂), с пунктирна вертикала; от звезда 1 — вектори v_r1 и μ_δ1 r₁, от звезда 2 — v_r2 и μ_δ2 r₂; отсечка r между звездите, вектор v на относителната скорост под ъгъл β към r₂, оранжеви вектори μ_δ2 r₂ − v_r1 и −(v_r2 − μ_δ1 r₁); надпис „v_α навътре в чертежа и за двете звезди“. — Фигура А6. Движение на Звезди 1 и 2 в пространството.

Б) Разстоянието $l$ се намира директно от разликата в географските ширини (изразена в радиани):

l = R(\varphi - \varphi_0) = \mathbf{289\ km}.

В) За тази част на задачата трябва да разпознаем какви са двете звезди. Звезда 1 има много ниска светимост въпреки спектралния си клас A2. Тя трябва да е бяло джудже. Същото може да се заключи и директно от класа светимост VII. Същевременно Звезда 2 е червен гигант.

Ако компонентите случайно се окажат достатъчно близко една до друга, за да има изключително голям темп на акреция, най-зрелищният възможен изход в следващите години е свръхнова от тип Ia. Известно е, че абсолютната звездна величина на такива свръхнови зависи слабо от точните обстоятелства на възникване, и е приблизително $M = -19.3$ . Комбинираме това с разстоянието до системата $r_C$ и получаваме съответната видима звездна величина:

m_C' - M = -5 + 5\lg(r_C\ [\mathrm{pc}]) \ \Rightarrow\ m_C' \approx \mathbf{-18}.

Коментар. Тъй като пълната механична енергия на системата от Звезда 1 и Звезда 2 е положителна при сближаването им, тясна двойна система всъщност е невъзможно да се формира без други влияния. За да се случи такова събитие, трябва например да има трета звезда (около Звезда 1 или Звезда 2), която също да участва в законите за запазване на енергията, импулса и момента на импулса. При сближаването тя би могла да се окаже с висока скорост и да излети надалеч, така че двойката Звезда 1/Звезда 2 да остане с отрицателна енергия и да формира двойна система.

Стефан Иванов

Критерии за оценяване (общо 15 т.):

А) За намиране на ректасцензиите – 2 т.
За намиране на деклинациите и географската ширина – 2 т.
За равенство на скоростите по ректасцензия и $\mu_{\alpha 2}$ – 2 т. (без $\cos\delta$ – 1 т.)
За формулирано условие за сблъсък и намиране на времето $\tau$ – 2 т.
За разстоянието $r_C$ при сблъсъка – 1 т.
За уравнение за $v_{r2}$ – 1 т.
За точно пресмятане на $v_{r2}$ (± 5%) – 1 т.
За намиране на $\mu_{\delta 1}$ – 1 т.

Б) За верен отговор – 1 т.

В) За досещане относно свръхнова от тип Ia – 1 т.
За правилна стойност на абсолютната звездна величина и пресмятане – 1 т.

Оригинал в Архива: 25-IV-teorST.pdf · официални решения: a25-IV-teorST.pdf